Aritmētiskā kvadrātsakne un tās īpašības.

Šis raksts ir detalizētas informācijas apkopojums, kas attiecas uz tēmu par sakņu īpašībām. Ņemot vērā tēmu, mēs sāksim ar īpašībām, izpētīsim visus formulējumus un sniegsim pierādījumus. Lai nostiprinātu tēmu, mēs apsvērsim n-tās pakāpes īpašības.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sakņu īpašības

Mēs runāsim par īpašumiem.

Īpašums reizināti skaitļi a Un b, kas tiek attēlots kā vienādība a · b = a · b . To var attēlot kā reizinātājus, pozitīvus vai vienādus ar nulli a 1 , a 2 , … , a k kā a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
no privātā a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, to var uzrakstīt arī šādā formā a b = a b ;
Īpašība no skaitļa spēka a ar pāra eksponentu a 2 m = a m jebkuram skaitlim a, piemēram, īpašība no skaitļa kvadrāta a 2 = a .

Jebkurā no uzrādītajiem vienādojumiem var apmainīt daļas pirms un pēc domuzīmes, piemēram, vienādība a · b = a · b tiek pārveidota kā a · b = a · b . Vienlīdzības īpašības bieži izmanto, lai vienkāršotu sarežģītus vienādojumus.

Pirmo īpašību pierādījums ir balstīts uz definīciju kvadrātsakne un pakāpju īpašības ar naturālo eksponentu. Lai pamatotu trešo īpašību, ir jāatsaucas uz skaitļa moduļa definīciju.

Vispirms jāpierāda kvadrātsaknes a · b = a · b īpašības. Saskaņā ar definīciju ir jāņem vērā, ka a b ir skaitlis, pozitīvs vai vienāds ar nulli, kas būs vienāds ar a b būvniecības laikā kvadrātā. Izteiksmes a · b vērtība ir pozitīva vai vienāda ar nulli kā nenegatīvu skaitļu reizinājums. Reizināto skaitļu pakāpes īpašība ļauj attēlot vienādību formā (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Pēc kvadrātsaknes definīcijas a 2 \u003d a un b 2 \u003d b, tad a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

Līdzīgā veidā to var pierādīt no produkta k reizinātāji a 1 , a 2 , … , a k būs vienāds ar šo faktoru kvadrātsakņu reizinājumu. Patiešām, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

No šīs vienādības izriet, ka a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Apskatīsim dažus piemērus, lai pastiprinātu tēmu.

1. piemērs

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 un 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0. 2 (1).

Jāpierāda koeficienta aritmētiskās kvadrātsaknes īpašība: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Īpašība ļauj uzrakstīt vienādību a: b 2 = a 2: b 2 un a 2: b 2 = a: b , savukārt a: b ir pozitīvs skaitlis vai vienāds ar nulli. Šis izteiciens būs pierādījums.

Piemēram, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 un 30, 121 = 30, 121.

Apsveriet skaitļa kvadrāta kvadrātsaknes īpašību. To var uzrakstīt kā vienādību kā a 2 = a Lai pierādītu šo īpašību, ir nepieciešams detalizēti apsvērt vairākas vienādības a ≥ 0 un plkst a< 0 .

Acīmredzot, ja a ≥ 0, vienādība a 2 = a ir patiesa. Plkst a< 0 vienādība a 2 = - a būs patiesa. Patiesībā šajā gadījumā − a > 0 un (− a) 2 = a 2 . Varam secināt, ka a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Apskatīsim dažus piemērus.

2. piemērs

5 2 = 5 = 5 un - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36.

Pierādītā īpašība palīdzēs attaisnot 2 m = a m , kur a- īsts un m-dabiskais skaitlis. Patiešām, eksponēšanas īpašība ļauj mums aizstāt pakāpi a 2 m izteiksme (am) 2, tad a 2 · m = (a m) 2 = a m .

3. piemērs

3 8 = 3 4 = 3 4 un (- 8 , 3) 14 = - 8, 3 7 = (8 , 3) 7 .

N-tās saknes īpašības

Vispirms jums jāapsver n-tās pakāpes sakņu galvenās īpašības:

Īpašums no skaitļu reizinājuma a Un b, kas ir pozitīvi vai vienādi ar nulli, var tikt izteikti kā vienādība a b n = a n b n , šī īpašība ir derīga reizinājumam k cipariem a 1 , a 2 , … , a k kā a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
no daļskaitlis ir īpašība a b n = a n b n , kur a- jebkura reāls skaitlis, kas ir pozitīvs vai vienāds ar nulli, un b ir pozitīvs reālais skaitlis;
Jebkuram a un pāra skaitļi n = 2 m a 2 m 2 m = a ir patiess, un nepāra n = 2 m - 1 ir izpildīta vienādība a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
Ieguves īpašība no a m n = a n m , kur a- jebkurš skaitlis, pozitīvs vai vienāds ar nulli, n Un m ir naturāli skaitļi, šo īpašību var attēlot arī kā . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
Jebkuram nenegatīvam a un patvaļīgam n Un m, kas ir dabiski, var definēt arī taisnīgo vienādību a m n · m = a n ;
pakāpes īpašums n no skaitļa spēka a, kas ir pozitīvs vai vienāds ar nulli, natūrā m, definēts ar vienādību a m n = a n m ;
Salīdzinājuma īpašība, kurai ir vienādi eksponenti: jebkuriem pozitīviem skaitļiem a Un b tāds, ka a< b , nevienlīdzība a n< b n ;
Salīdzināšanas īpašums, kam piemīt tie paši skaitļi sakne: ja m Un n- naturālie skaitļi, kas m > n, pēc tam plkst 0 < a < 1 nevienādība a m > a n ir spēkā, un priekš a > 1 a m< a n .

Iepriekš minētās vienādības ir spēkā, ja daļas pirms un pēc vienādības zīmes ir apgrieztas. Tos var izmantot arī šajā formā. To bieži izmanto izteiksmju vienkāršošanas vai pārveidošanas laikā.

Iepriekš minēto saknes īpašību pierādījums ir balstīts uz definīciju, pakāpes īpašībām un skaitļa moduļa definīciju. Šīs īpašības ir jāpierāda. Bet viss ir kārtībā.

Vispirms no reizinājuma a · b n = a n · b n pierādīsim n-tās pakāpes saknes īpašības. Priekš a Un b , kas ir pozitīvs vai nulle , arī vērtība a n · b n ir pozitīva vai vienāda ar nulli, jo tā ir nenegatīvu skaitļu reizināšanas rezultāts. Dabiskā spēka produkta īpašība ļauj uzrakstīt vienādību a n · b n n = a n n · b n n . Pēc saknes definīcijas n pakāpe a n n = a un b n n = b , tāpēc a n · b n n = a · b . Rezultātā iegūtā vienlīdzība ir tieši tā, kas bija jāpierāda.

Produktam šī īpašība ir pierādīta līdzīgi k faktori: nenegatīviem skaitļiem a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Šeit ir saknes īpašuma izmantošanas piemēri n produkta jauda: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 un 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

Pierādīsim koeficienta a b n = a n b n saknes īpašību. Plkst a ≥ 0 Un b > 0 nosacījums a n b n ≥ 0 ir izpildīts, un a n b n n = a n n b n n = a b .

Parādīsim piemērus:

4. piemērs

8 27 3 = 8 3 27 3 un 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

Nākamajam solim ir jāpierāda n-tās pakāpes īpašības no skaitļa līdz pakāpei n. Mēs to attēlojam kā vienādību a 2 m 2 m = a un 2 m - 1 2 m - 1 = a jebkuram reālam a un dabiski m. Plkst a ≥ 0 iegūstam a = a un a 2 m = a 2 m, kas pierāda vienādību a 2 m 2 m = a, un vienādība a 2 m - 1 2 m - 1 = a ir acīmredzama. Plkst a< 0 iegūstam attiecīgi a = - a un a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Pēdējā skaitļa transformācija ir spēkā atbilstoši grāda īpašībai. Tas pierāda, ka vienādība a 2 m 2 m \u003d a un 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a būs patiesa, jo - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m tiek uzskatīts par nepāra vērtību. grāds - 1 jebkuram skaitlim c , pozitīva vai vienāda ar nulli.

Lai apkopotu saņemto informāciju, apsveriet dažus piemērus, izmantojot īpašumu:

5. piemērs

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 un (- 3 , 39) 5 5 = - 3, 39 .

Pierādīsim šādu vienādību a m n = a n · m . Lai to izdarītu, ir jāmaina skaitļi pirms vienādības zīmes un pēc tās vietās a n · m = a m n . Tas norādīs pareizo ierakstu. Priekš a , kas ir pozitīvs vai vienāds ar nulli , no formas a m n ir pozitīvs skaitlis vai nulle. Pievērsīsimies īpašībai paaugstināt spēku par spēku un definīciju. Ar to palīdzību jūs varat pārveidot vienādības formā a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Tas pierāda uzskatīto saknes īpašību no saknes.

Citas īpašības tiek pierādītas līdzīgi. Tiešām, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

Piemēram, 7 3 5 = 7 5 3 un 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

Pierādīsim šādu īpašību a m n · m = a n . Lai to izdarītu, ir jāparāda, ka n ir skaitlis, kas ir pozitīvs vai vienāds ar nulli. Paaugstinot līdz pakāpei n m ir a m. Ja numurs a tad ir pozitīvs vai nulle n th grāds no vidus a ir pozitīvs skaitlis vai vienāds ar nulli Turklāt a n · m n = a n n m , kas bija jāpierāda.

Lai nostiprinātu iegūtās zināšanas, apsveriet dažus piemērus.

Pierādīsim šādu īpašību - formas a m n = a n m pakāpju saknes īpašību. Ir skaidrs, ka plkst a ≥ 0 pakāpe a n m ir nenegatīvs skaitlis. Turklāt viņa n-th pakāpe ir vienāda ar a m, patiešām, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Tas pierāda grāda apsvērto īpašību.

Piemēram, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

Mums tas jāpierāda visiem pozitīviem skaitļiem a un b a< b . Apsveriet nevienlīdzību a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Tāpēc n< b n при a< b .

Piemēram, mēs dodam 12 4< 15 2 3 4 .

Apsveriet saknes īpašību n-th grāds. Pirmkārt, apsveriet nevienlīdzības pirmo daļu. Plkst m > n Un 0 < a < 1 taisnība a m > a n . Pieņemsim, ka a m ≤ a n . Īpašības vienkāršos izteiksmi līdz a n m · n ≤ a m m · n . Tad atbilstoši pakāpes īpašībām ar naturālo eksponentu ir izpildīta nevienādība a n m n m n ≤ a m m n m n, tas ir, a n ≤ a m. Vērtība, kas iegūta plkst m > n Un 0 < a < 1 neatbilst iepriekš norādītajām īpašībām.

Tādā pašā veidā to var pierādīt m > n Un a > 1 nosacījums a m< a n .

Lai labotu iepriekš minētās īpašības, apsveriet dažas konkrēti piemēri. Apsveriet nevienlīdzības, izmantojot konkrētus skaitļus.

6. piemērs

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Kvadrātveida zemes gabala platība ir 81 dm². Atrodi viņa pusi. Pieņemsim, ka kvadrāta malas garums ir X decimetri. Tad zemes gabala platība ir X² kvadrātdecimetri. Tā kā pēc stāvokļa šī platība ir 81 dm², tad X² = 81. Kvadrāta malas garums ir pozitīvs skaitlis. Pozitīvs skaitlis, kura kvadrāts ir 81, ir skaitlis 9. Atrisinot uzdevumu, bija jāatrod skaitlis x, kura kvadrāts ir 81, t.i., jāatrisina vienādojums X² = 81. Šim vienādojumam ir divas saknes: x 1 = 9 un x 2 \u003d - 9, jo 9² \u003d 81 un (- 9)² \u003d 81. Gan skaitļus 9, gan - 9 sauc par skaitļa 81 kvadrātsaknēm.

Ņemiet vērā, ka viena no kvadrātsaknēm X= 9 ir pozitīvs skaitlis. To sauc par 81 aritmētisko kvadrātsakni un apzīmē ar √81, tātad √81 = 9.

Skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne bet ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar bet.

Piemēram, skaitļi 6 un -6 ir kvadrātsaknes no 36. Skaitlis 6 ir aritmētiskā kvadrātsakne no 36, jo 6 ir nenegatīvs skaitlis un 6² = 36. Skaitlis -6 nav aritmētiskā sakne.

Skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne bet apzīmē šādi: √ bet.

Zīmi sauc par aritmētisko kvadrātsaknes zīmi; bet sauc par saknes izteiksmi. Izteiksme √ bet lasīt kā šis: skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne bet. Piemēram, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Gadījumos, kad ir skaidrs, ka mēs runājam par aritmētisko sakni viņi īsi saka: "kvadrātsakne no bet«.

Skaitļa kvadrātsaknes atrašanu sauc par kvadrātsaknes ņemšanu. Šī darbība ir apgriezta kvadrātā.

Jebkurš skaitlis var būt kvadrātā, bet ne katrs skaitlis var būt kvadrātsaknes. Piemēram, nav iespējams izvilkt kvadrātsakni no skaitļa - 4. Ja tāda pastāvēja, tad, apzīmējot to ar burtu X, mēs iegūtu nepareizu vienādību x² \u003d - 4, jo kreisajā pusē ir nenegatīvs skaitlis, bet labajā pusē - negatīvs skaitlis.

Izteiksme √ bet jēga ir tikai tad, kad a ≥ 0. Kvadrātsaknes definīciju var īsi uzrakstīt šādi: √ a ≥ 0, (√bet)² = bet. Vienlīdzība (√ bet)² = bet derīgs a ≥ 0. Tādējādi, lai pārliecinātos, ka kvadrātsakne no nenegatīva skaitļa bet vienāds b, t.i., ka √ bet =b, jums jāpārbauda, vai ir izpildīti šādi divi nosacījumi: b ≥ 0, b² = bet.

Daļas kvadrātsakne

Aprēķināsim. Ņemiet vērā, ka √25 = 5, √36 = 6, un pārbaudiet, vai vienādība ir spēkā.

Jo un , tad vienlīdzība ir patiesa. Tātad, .

Teorēma: Ja bet≥ 0 un b> 0, tas ir, daļdaļas sakne vienāds ar sakni no skaitītāja, kas dalīts ar saucēja sakni. Ir jāpierāda, ka: un .

Kopš √ bet≥0 un √ b> 0, tad .

Ar īpašību palielināt daļu līdz pakāpei un noteikt kvadrātsakni teorēma ir pierādīta. Apskatīsim dažus piemērus.

Aprēķiniet , saskaņā ar pārbaudīto teorēmu .

Otrais piemērs: pierādiet to , ja bet ≤ 0, b < 0. .

Vēl viens piemērs: Aprēķināt .

Kvadrātsaknes transformācija

Izņemot reizinātāju no zem saknes zīmes. Lai tiek dota izteiksme. Ja bet≥ 0 un b≥ 0, tad, izmantojot teorēmu par produkta sakni, mēs varam rakstīt:

Šāda transformācija tiek saukta par saknes zīmes faktorēšanu. Apsveriet piemēru;

Aprēķināt plkst X= 2. Tiešā aizstāšana X= 2 radikālajā izteiksmē noved pie sarežģītiem aprēķiniem. Šos aprēķinus var vienkāršot, ja vispirms noņemam faktorus zem saknes zīmes: . Tagad aizstājot x = 2, mēs iegūstam:.

Tātad, izņemot faktoru no saknes zīmes, radikāļu izteiksme tiek attēlota kā reizinājums, kurā viens vai vairāki faktori ir nenegatīvu skaitļu kvadrāti. Pēc tam tiek piemērota saknes produkta teorēma un tiek ņemta katra faktora sakne. Apsveriet piemēru: Vienkāršojiet izteiksmi A = √8 + √18 - 4√2, izņemot faktorus no zem saknes zīmes pirmajos divos terminos, mēs iegūstam:. Mēs uzsveram, ka vienlīdzība spēkā tikai tad, kad bet≥ 0 un b≥ 0. ja bet < 0, то .

1. fakts.
\(\bullet\) Paņemiet kādu nenegatīvu skaitli \(a\) (ti, \(a\geqslant 0\) ). Tad (aritmētika) kvadrātsakne no skaitļa \(a\) tiek izsaukts šāds nenegatīvs skaitlis \(b\), kuru kvadrātā iegūstam skaitli \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(tas pats kā )\quad a=b^2\] No definīcijas izriet, ka \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Šie ierobežojumi ir svarīgs nosacījums kvadrātsaknes esamību un tos vajadzētu atcerēties!
Atcerieties, ka jebkurš skaitlis kvadrātā dod nenegatīvu rezultātu. Tas ir, \(100^2=10000\geqslant 0\) un \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Kas ir \(\sqrt(25)\)? Mēs zinām, ka \(5^2=25\) un \((-5)^2=25\) . Tā kā pēc definīcijas mums ir jāatrod nenegatīvs skaitlis, \(-5\) nav piemērots, tāpēc \(\sqrt(25)=5\) (jo \(25=5^2\) ).
Vērtības \(\sqrt a\) atrašanu sauc par skaitļa \(a\) kvadrātsakni, bet skaitli \(a\) sauc par saknes izteiksmi.
\(\bullet\) Pamatojoties uz definīciju, izteicieni \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) u.c. nav jēgas.

2. fakts.
Ātriem aprēķiniem būs noderīgi apgūt kvadrātu tabulu naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(20\): \[\begin(masīvs)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(masīvs)\]

3. fakts.
Ko var izdarīt ar kvadrātsaknēm?
\(\lode\) Kvadrātsakņu summa vai starpība NAV VIENĀDA ar summas vai starpības kvadrātsakni, t.i. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Tātad, ja nepieciešams aprēķināt, piemēram, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , tad sākotnēji jāatrod vērtības \(\sqrt(25)\) un \(\sqrt (49)\ ) un pēc tam saskaitiet tos. Sekojoši, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ja vērtības \(\sqrt a\) vai \(\sqrt b\) nevar atrast, pievienojot \(\sqrt a+\sqrt b\), tad šāda izteiksme netiek tālāk pārveidota un paliek tāda, kāda tā ir. Piemēram, summā \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) mēs varam atrast \(\sqrt(49)\) - tas ir \(7\) , bet \(\sqrt 2\) nevar būt jebkādā veidā pārveidots, tāpēc \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Turklāt šo izteicienu diemžēl nekādā veidā nevar vienkāršot.\(\bullet\) Kvadrātsakņu reizinājums/dalījums ir vienāds ar reizinājuma/dalījuma kvadrātsakni, t.i. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (ar nosacījumu, ka abām vienādības daļām ir jēga)
Piemērs: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Izmantojot šos rekvizītus, ir ērti atrast kvadrātsaknes no lieli cipari ieskaitot tos.
Apsveriet piemēru. Atrodiet \(\sqrt(44100)\) . Kopš \(44100:100=441\) , tad \(44100=100\cdot 441\) . Saskaņā ar dalāmības kritēriju skaitlis \(441\) dalās ar \(9\) (jo tā ciparu summa ir 9 un dalās ar 9), tāpēc \(441:9=49\) , tas ir, \(441=9\ cdot 49\) .
Tādējādi mēs saņēmām: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Apskatīsim citu piemēru: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Parādīsim, kā ievadīt skaitļus zem kvadrātsaknes zīmes, izmantojot izteiksmes \(5\sqrt2\) piemēru (saīsinājums no izteiksmes \(5\cdot \sqrt2\) ). Kopš \(5=\sqrt(25)\) , tad \ Ņemiet vērā arī to, ka, piemēram,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Kāpēc ir tā, ka? Paskaidrosim ar 1. piemēru). Kā jūs jau sapratāt, mēs nevaram kaut kā pārveidot skaitli \(\sqrt2\) . Iedomājieties, ka \(\sqrt2\) ir kāds skaitlis \(a\) . Attiecīgi izteiksme \(\sqrt2+3\sqrt2\) nav nekas cits kā \(a+3a\) (viens cipars \(a\) plus vēl trīs tādi paši skaitļi \(a\) ). Un mēs zinām, ka tas ir vienāds ar četriem šādiem skaitļiem \(a\) , tas ir, \(4\sqrt2\) .

4. fakts.
\(\bullet\) Bieži tiek teikts "nevar izvilkt sakni", ja, atrodot kāda skaitļa vērtību, nav iespējams atbrīvoties no saknes (radikāla) zīmes \(\sqrt () \ \). Piemēram, varat sakņot skaitli \(16\), jo \(16=4^2\) , tātad \(\sqrt(16)=4\) . Bet izvilkt sakni no skaitļa \(3\) , tas ir, atrast \(\sqrt3\) , nav iespējams, jo nav tāda skaitļa, kas kvadrātā dotu \(3\) .
Šādi skaitļi (vai izteiksmes ar šādiem skaitļiem) ir neracionāli. Piemēram, skaitļi \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) utt. ir neracionāli.
Iracionāli ir arī skaitļi \(\pi\) (skaitlis "pi", aptuveni vienāds ar \(3,14\) ), \(e\) (šo skaitli sauc par Eilera skaitli, aptuveni vienāds ar \(2) ,7\) ) utt.
\(\bullet\) Lūdzu, ņemiet vērā, ka jebkurš skaitlis būs racionāls vai neracionāls. Un kopā visi racionāli un viss iracionāli skaitļi veido kopu ar nosaukumu reālo (reālo) skaitļu kopa.Šo kopu apzīmē ar burtu \(\mathbb(R)\) .
Tas nozīmē, ka visi skaitļi, kas ir Šis brīdis mēs zinām, ka tos sauc par reāliem skaitļiem.

5. fakts.
\(\bullet\) Reālā skaitļa modulis \(a\) ir nenegatīvs skaitlis \(|a|\), kas vienāds ar attālumu no punkta \(a\) līdz \(0\) reālajā skaitļā. līnija. Piemēram, \(|3|\) un \(|-3|\) ir vienādi ar 3, jo attālumi no punktiem \(3\) un \(-3\) līdz \(0\) ir vienāds un vienāds ar \(3 \) .
\(\bullet\) Ja \(a\) ir nenegatīvs skaitlis, tad \(|a|=a\) .
Piemērs: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ja \(a\) ir negatīvs skaitlis, tad \(|a|=-a\) .
Piemērs: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Viņi saka, ka negatīviem skaitļiem modulis “apēd” mīnusu, un pozitīvos skaitļus, kā arī skaitli \(0\) modulis atstāj nemainīgu.
BETšis noteikums attiecas tikai uz cipariem. Ja jums zem moduļa zīmes ir nezināms \(x\) (vai kāds cits nezināms), piemēram, \(|x|\) , par kuru mēs nezinām, vai tas ir pozitīvs, vienāds ar nulli vai negatīvs, tad atbrīvoties no moduļa mēs nevaram. Šajā gadījumā šī izteiksme paliek šāda: \(|x|\) . \(\bullet\) Ir spēkā šādas formulas: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( nodrošināts ) a\geqslant 0\] Bieži tiek pieļauta šāda kļūda: viņi saka, ka \(\sqrt(a^2)\) un \((\sqrt a)^2\) ir viena un tā pati lieta. Tas ir spēkā tikai tad, ja \(a\) ir pozitīvs skaitlis vai nulle. Bet, ja \(a\) ir negatīvs skaitlis, tad tā nav taisnība. Pietiek apsvērt šādu piemēru. Ņemsim skaitli \(-1\), nevis \(a\). Tad \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , bet izteiksme \((\sqrt (-1))^2\) vispār nepastāv (jo tā ir neiespējami zem saknes zīmes ielieciet negatīvus skaitļus!).
Tāpēc mēs vēršam jūsu uzmanību uz to, ka \(\sqrt(a^2)\) nav vienāds ar \((\sqrt a)^2\) ! Piemērs: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), jo \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Kopš \(\sqrt(a^2)=|a|\) , tad \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (izteiksme \(2n\) apzīmē pāra skaitli)
Tas ir, iegūstot sakni no skaitļa, kas ir zināmā mērā, šī pakāpe tiek samazināta uz pusi.
Piemērs:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (ņemiet vērā, ka, ja modulis nav iestatīts, tad izrādās, ka skaitļa sakne ir vienāda ar \(-25) \) ; bet mēs atceramies , kas pēc saknes definīcijas tas nevar būt: izvelkot sakni, vienmēr jāiegūst pozitīvs skaitlis vai nulle)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (jo jebkurš skaitlis līdz pāra pakāpei nav negatīvs)

6. fakts.
Kā salīdzināt divas kvadrātsaknes?
\(\bullet\) Patiess kvadrātsaknēm: ja \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPiemērs:
1) salīdziniet \(\sqrt(50)\) un \(6\sqrt2\) . Pirmkārt, mēs pārveidojam otro izteiksmi par \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Tādējādi kopš \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Starp kuriem veseliem skaitļiem ir \(\sqrt(50)\)?
Kopš \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) un \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Salīdziniet \(\sqrt 2-1\) un \(0,5\) . Pieņemsim, ka \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(līdzināts) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((pievienot vienu abām pusēm))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((abas daļas kvadrātā))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(līdzināts)\] Mēs redzam, ka esam ieguvuši nepareizu nevienlīdzību. Tāpēc mūsu pieņēmums bija nepareizs un \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Ņemiet vērā, ka noteikta skaitļa pievienošana abām nevienlīdzības pusēm neietekmē tās zīmi. Abu nevienādības daļu reizināšana/dalīšana ar pozitīvu skaitli arī neietekmē tās zīmi, bet reizināšana/dalīšana ar negatīvu skaitli apvērš nevienādības zīmi!
Abas vienādojuma/nevienādības puses var būt kvadrātā TIKAI TAD, JA abas puses nav negatīvas. Piemēram, nevienādībā no iepriekšējā piemēra abas puses var kvadrātā, nevienādībā \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Ņemiet vērā, ka \[\begin(līdzināts) &\sqrt 2\apmēram 1,4\\ &\sqrt 3\apmēram 1,7 \end(līdzināts)\]Šo skaitļu aptuvenās nozīmes pārzināšana palīdzēs skaitļu salīdzināšanā! \(\bullet\) Lai izvilktu sakni (ja tā ir izvilkta) no kāda liela skaitļa, kas nav kvadrātu tabulā, vispirms jānosaka, starp kuriem “simtiem” tas ir, tad starp kuriem “desmitiem”, un pēc tam nosakiet šī skaitļa pēdējo ciparu. Parādīsim, kā tas darbojas ar piemēru.
Paņemiet \(\sqrt(28224)\) . Mēs zinām, ka \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) un tā tālāk. Ņemiet vērā, ka \(28224\) ir starp \(10\,000\) un \(40\,000\) . Tāpēc \(\sqrt(28224)\) ir starp \(100\) un \(200\) .
Tagad noteiksim, starp kuriem “desmitiem” ir mūsu skaitlis (tas ir, piemēram, starp \(120\) un \(130\) ). No kvadrātu tabulas mēs arī zinām, ka \(11^2=121\) , \(12^2=144\) utt., tad \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . Tātad mēs redzam, ka \(28224\) ir starp \(160^2\) un \(170^2\) . Tāpēc skaitlis \(\sqrt(28224)\) ir starp \(160\) un \(170\) .
Mēģināsim noteikt pēdējo ciparu. Atcerēsimies, kādus viencipara skaitļus kvadrātā dod beigās \ (4 \) ? Tie ir \(2^2\) un \(8^2\) . Tāpēc \(\sqrt(28224)\) beigsies ar 2 vai 8. Pārbaudīsim to. Atrodiet \(162^2\) un \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Tādējādi \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Lai adekvāti atrisinātu eksāmenu matemātikā, pirmkārt, ir nepieciešams apgūt teorētisko materiālu, kas ievada daudzas teorēmas, formulas, algoritmus utt. No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka tas ir diezgan vienkārši. Taču atrast avotu, kurā matemātikas vienotā valsts eksāmena teorija tiek pasniegta viegli un saprotami skolēniem ar jebkāda līmeņa sagatavotību, patiesībā ir diezgan grūts uzdevums. Skolas mācību grāmatas ne vienmēr var turēt pa rokai. Un matemātikas eksāmena pamatformulu atrašana var būt sarežģīta pat internetā.

Kāpēc ir tik svarīgi apgūt teoriju matemātikā, ne tikai tiem, kas kārto eksāmenu?

Jo tas paplašina redzesloku. Teorētiskā materiāla apguve matemātikā ir noderīga ikvienam, kurš vēlas iegūt atbildes uz visdažādākajiem jautājumiem, kas saistīti ar pasaules zināšanām. Dabā viss ir sakārtots un tam ir skaidra loģika. Tas ir tieši tas, kas atspoguļojas zinātnē, caur kuru ir iespējams izprast pasauli.
Jo tas attīsta intelektu. Apgūstot izziņas materiālus eksāmenam matemātikā, kā arī risinot dažādus uzdevumus, cilvēks mācās domāt un loģiski spriest, pareizi un skaidri formulēt domas. Viņš attīsta spēju analizēt, vispārināt, izdarīt secinājumus.

Aicinām personīgi izvērtēt visas priekšrocības, ko sniedz mūsu pieeja izglītības materiālu sistematizēšanai un prezentēšanai.

Matemātika radās, kad cilvēks apzinājās sevi un sāka pozicionēt sevi kā autonomu pasaules vienību. Vēlme izmērīt, salīdzināt, aprēķināt to, kas jūs ieskauj, ir viena no mūsdienu fundamentālajām zinātnēm. Sākumā tās bija elementārās matemātikas daļiņas, kas ļāva skaitļus savienot ar to fiziskajām izteiksmēm, vēlāk secinājumus sāka pasniegt tikai teorētiski (to abstraktuma dēļ), bet pēc kāda laika, kā izteicās viens zinātnieks, " matemātika sasniedza sarežģītības griestus, kad visi skaitļi. Jēdziens "kvadrātsakne" parādījās laikā, kad to varēja viegli pamatot ar empīriskiem datiem, pārsniedzot aprēķinu plānu.

Kā tas viss sākās

Pirmā saknes pieminēšana, kas pašlaik tiek apzīmēta kā √, tika ierakstīta Babilonijas matemātiķu rakstos, kuri lika pamatus mūsdienu aritmētikai. Protams, tie izskatījās nedaudz līdzīgi pašreizējai formai - to gadu zinātnieki vispirms izmantoja lielgabarīta tabletes. Bet otrajā tūkstošgadē pirms mūsu ēras. e. viņi izdomāja aptuvenu aprēķina formulu, kas parādīja, kā ņemt kvadrātsakni. Zemāk esošajā fotoattēlā ir redzams akmens, uz kura Babilonijas zinātnieki izgrieza izvades procesu √2, un tas izrādījās tik pareizs, ka neatbilstība atbildē tika konstatēta tikai desmitajā zīmē aiz komata.

Turklāt sakne tika izmantota, ja bija nepieciešams atrast trijstūra malu, ja ir zināmas pārējās divas. Nu, risinot kvadrātvienādojumus, nav iespējams izvairīties no saknes iegūšanas.

Paralēli babiloniešu darbiem raksta tēma tika pētīta arī ķīniešu darbā "Matemātika deviņās grāmatās", un senie grieķi nonāca pie secinājuma, ka jebkurš skaitlis, no kura sakne netiek izvilkta bez atlikuma, dod iracionālu rezultātu. .

Šī termina izcelsme ir saistīta ar skaitļa attēlojumu arābu valodā: senie zinātnieki uzskatīja, ka patvaļīga skaitļa kvadrāts izaug no saknes kā augs. Latīņu valodā šis vārds izklausās kā radix (var izsekot modelim - viss, kam ir "saknes" semantiskā slodze, ir līdzskaņi, vai tas būtu redīsi vai išiass).

Nākamo paaudžu zinātnieki izvēlējās šo ideju, apzīmējot to kā Rx. Piemēram, 15. gadsimtā, lai norādītu, ka kvadrātsakne ņemta no patvaļīga skaitļa a, viņi rakstīja R 2 a. Mūsdienu izskatam pazīstamā “ērce” √ parādījās tikai 17. gadsimtā, pateicoties Renē Dekartam.

Mūsu dienas

Matemātiski y kvadrātsakne ir skaitlis z, kura kvadrāts ir y. Citiem vārdiem sakot, z 2 =y ir ekvivalents √y=z. Tomēr šī definīcija attiecas tikai uz aritmētisko sakni, jo tā nozīmē izteiksmes nenegatīvu vērtību. Citiem vārdiem sakot, √y=z, kur z ir lielāks vai vienāds ar 0.

Kopumā, kas ir derīga algebriskās saknes noteikšanai, izteiksmes vērtība var būt pozitīva vai negatīva. Tādējādi, pateicoties tam, ka z 2 =y un (-z) 2 =y, mums ir: √y=±z vai √y=|z|.

Tā kā, attīstoties zinātnei, mīlestība pret matemātiku ir tikai pieaugusi, tad ir dažādas, sausos aprēķinos neizpaužas pieķeršanās izpausmes pret to. Piemēram, līdzās tādiem interesantiem notikumiem kā Pī diena tiek svinēti arī kvadrātsaknes svētki. Tos svin deviņas reizes simts gados, un tos nosaka pēc šāda principa: cipariem, kas secībā apzīmē dienu un mēnesi, jābūt gada kvadrātsaknei. Tātad nākamreiz šie svētki tiks svinēti 2016. gada 4. aprīlī.

Kvadrātsaknes īpašības uz lauka R

Gandrīz visām matemātiskajām izteiksmēm ir ģeometrisks pamats, šis liktenis nav pagājis un √y, kas tiek definēta kā kvadrāta mala ar laukumu y.

Kā atrast skaitļa sakni?

Ir vairāki aprēķinu algoritmi. Vienkāršākais, bet tajā pašā laikā diezgan apgrūtinošs ir parastais aritmētiskais aprēķins, kas ir šāds:

1) no skaitļa, kura sakne mums ir vajadzīga, pēc kārtas tiek atņemti nepāra skaitļi - līdz izvades atlikums ir mazāks par atņemto vai pat vienāds ar nulli. Kustību skaits galu galā kļūs par vēlamo skaitli. Piemēram, aprēķinot kvadrātsakni no 25:

Nākamais nepāra skaitlis ir 11, atlikušais ir: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Šādos gadījumos ir Taylor sērijas paplašinājums:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kur n ņem vērtības no 0 līdz

+∞ un |y|≤1.

Funkcijas z=√y grafiskais attēlojums

Aplūkosim elementāru funkciju z=√y reālo skaitļu laukā R, kur y ir lielāks par nulli vai vienāds ar to. Viņas diagramma izskatās šādi:

Līkne aug no sākuma un obligāti šķērso punktu (1; 1).

Funkcijas z=√y īpašības reālo skaitļu laukā R

1. Aplūkojamās funkcijas definīcijas apgabals ir intervāls no nulles līdz plus bezgalībai (nulle ir iekļauta).

2. Aplūkojamās funkcijas vērtību diapazons ir intervāls no nulles līdz plus bezgalībai (atkal ir iekļauta nulle).

3. Funkcija iegūst minimālo vērtību (0) tikai punktā (0; 0). Maksimālās vērtības nav.

4. Funkcija z=√y nav ne pāra, ne nepāra.

5. Funkcija z=√y nav periodiska.

6. Funkcijas z=√y grafikam ir tikai viens krustpunkts ar koordinātu asīm: (0; 0).

7. Funkcijas z=√y grafika krustpunkts ir arī šīs funkcijas nulle.

8. Funkcija z=√y nepārtraukti pieaug.

9. Funkcijai z=√y ir tikai pozitīvas vērtības, tāpēc tās grafiks aizņem pirmo koordinātu leņķi.

Funkcijas z=√y parādīšanas iespējas

Matemātikā, lai atvieglotu sarežģītu izteiksmju aprēķināšanu, dažreiz tiek izmantota kvadrātsaknes rakstīšanas jaudas forma: √y=y 1/2. Šī opcija ir ērta, piemēram, paaugstinot funkciju līdz pakāpei: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Šī metode ir arī labs attēlojums diferencēšanai ar integrāciju, jo, pateicoties tai, kvadrātsakne tiek attēlota ar parastu jaudas funkciju.

Un programmēšanā simbola √ aizstāšana ir burtu kombinācija sqrt.

Ir vērts atzīmēt, ka šajā jomā kvadrātsakne ir ļoti pieprasīta, jo tā ir daļa no vairuma aprēķiniem nepieciešamo ģeometrisko formulu. Pats skaitīšanas algoritms ir diezgan sarežģīts un ir balstīts uz rekursiju (funkciju, kas izsauc sevi).

Kvadrātsakne kompleksajā laukā C

Kopumā šī raksta tēma stimulēja komplekso skaitļu lauka C atklāšanu, jo matemātiķus vajāja jautājums par pāra pakāpes saknes iegūšanu no negatīva skaitļa. Tā radās iedomātā vienība i, kurai raksturīga ļoti interesanta īpašība: tās kvadrāts ir -1. Pateicoties tam, kvadrātvienādojumi un ar negatīvu diskriminantu ieguva risinājumu. C valodā kvadrātsaknei ir svarīgas tās pašas īpašības kā R, vienīgais ir tas, ka saknes izteiksmes ierobežojumi tiek noņemti.