Kaut ko mērot, jāņem vērā, ka iegūtais rezultāts vēl nav galīgs. Lai precīzāk aprēķinātu vēlamo vērtību, ir jāņem vērā kļūda. To aprēķināt ir pavisam vienkārši.

Kā atrast kļūdu - aprēķins

Kļūdu veidi:

• radinieks;
• absolūts.

Kas jums jāaprēķina:

• kalkulators;
• vairāku viena un tā paša daudzuma mērījumu rezultāti.

Kā atrast kļūdu - darbību secība

• Izmēriet vērtību 3-5 reizes.
• Saskaitiet visus rezultātus un sadaliet iegūto skaitli ar to skaitu. Šis skaitlis ir reāla vērtība.
• Aprēķiniet absolūto kļūdu, no mērījumu rezultātiem atņemot iepriekšējā solī iegūto vērtību. Formula: ∆X = Hisl — Hist. Aprēķinu gaitā iespējams iegūt gan pozitīvus, gan negatīvas vērtības. Jebkurā gadījumā tiek ņemts rezultāta modulis. Ja nepieciešams zināt divu lielumu summas absolūto kļūdu, tad aprēķinus veic pēc šādas formulas: ∆(X + Y) = ∆X + ∆Y. Tas darbojas arī tad, ja ir jāaprēķina divu lielumu starpības kļūda: ∆(X-Y) = ∆X+∆Y.
• Noskaidrojiet katra mērījuma relatīvo kļūdu. Šajā gadījumā iegūtā absolūtā kļūda ir jāsadala ar faktisko vērtību. Pēc tam koeficientu reiziniet ar 100%. ε(x)=Δx/x0*100%. Vērtību var konvertēt procentos vai arī ne.
• Lai iegūtu precīzāku kļūdas vērtību, ir jāatrod standarta novirze. To meklē pavisam vienkārši: aprēķiniet visu vērtību kvadrātus absolūta kļūda un tad atrodiet to summu. Iegūtais rezultāts jādala ar skaitli (N-1), kurā N ir visu mērījumu skaits. Pēdējais solis ir iegūt sakni no rezultāta. Pēc šādiem aprēķiniem tiks iegūta standartnovirze, kas parasti raksturo mērījumu kļūdu.
• Lai atrastu ierobežojošo absolūto kļūdu, ir jāatrod lielākā daļa neliels skaits, kas savā vērtībā ir vienāda ar absolūtās kļūdas vērtību vai pārsniedz to.
• Ierobežojošā relatīvā kļūda tiek meklēta ar to pašu metodi, tikai jāatrod skaitlis, kas ir lielāks vai vienāds ar relatīvās kļūdas vērtību.

Mērījumu kļūdas rodas dažādu iemeslu dēļ un ietekmē iegūtās vērtības precizitāti. Zinot, ar ko ir vienāda kļūda, varat uzzināt precīzāku mērījuma vērtību.

Absolūtā un relatīvā kļūda

Kļūdu teorijas elementi

Precīzi un aptuveni skaitļi

Par skaitļa precizitāti parasti nav šaubu, kad mēs runājam par veselu skaitļu datu vērtībām (2 zīmuļi, 100 koki). Tomēr vairumā gadījumu, kad nav iespējams norādīt precīzu skaitļa vērtību (piemēram, mērot objektu ar lineālu, ņemot rezultātus no ierīces utt.), mēs runājam ar aptuveniem datiem.

Aptuvenā vērtība ir skaitlis, kas nedaudz atšķiras no precīza vērtība un aizstājot to aprēķinos. Atšķirības pakāpi starp skaitļa aptuveno vērtību un tā precīzo vērtību raksturo ar kļūda .

Ir šādi galvenie kļūdu avoti:

1. Kļūdas problēmas formulējumā kas rodas reālas parādības aptuvenā apraksta matemātikas izteiksmē rezultātā.

2. Metodes kļūdas saistīta ar grūtībām vai neiespējamību atrisināt problēmu un aizstāt to ar līdzīgu, lai jūs varētu pielietot labi zināmu un pieejamu risinājuma metodi un iegūt rezultātu, kas tuvs vēlamajam.

3. Fatālas kļūdas, kas saistīts ar sākotnējo datu aptuvenajām vērtībām un aptuveno skaitļu aprēķinu veikšanas dēļ.

4. Noapaļošanas kļūdas kas saistīti ar sākotnējo datu, starpposma un gala rezultātu vērtību noapaļošanu, kas iegūti, izmantojot skaitļošanas rīkus.

Absolūtā un relatīvā kļūda

Kļūdu uzskaite ir svarīgs aspekts skaitlisko metožu pielietošana, jo visas problēmas risināšanas gala rezultāta kļūda ir visu veidu kļūdu mijiedarbības rezultāts. Tāpēc viens no galvenajiem kļūdu teorijas uzdevumiem ir novērtēt rezultāta precizitāti, pamatojoties uz sākotnējo datu precizitāti.

Ja ir precīzs skaitlis un ir tā aptuvenā vērtība, tad aptuvenās vērtības kļūda (kļūda) ir tās vērtības tuvuma pakāpe tās precīzajai vērtībai .

Vienkāršākais kļūdas kvantitatīvais mērs ir absolūtā kļūda, kas tiek definēta kā

(1.1.2-1)

Kā redzams no formulas 1.1.2-1, absolūtajai kļūdai ir tādas pašas mērvienības kā vērtībai. Tāpēc pēc absolūtās kļūdas lieluma ne vienmēr ir iespējams izdarīt pareizu secinājumu par tuvinājuma kvalitāti. Piemēram, ja , un runa ir par mašīnas daļu, tad mērījumi ir ļoti rupji, un, ja runājam par trauka izmēru, tad tie ir ļoti precīzi. Šajā sakarā tiek ieviests relatīvās kļūdas jēdziens, kurā absolūtās kļūdas vērtība ir saistīta ar aptuvenās vērtības moduli ( ).

(1.1.2-2)

Relatīvo kļūdu izmantošana ir ērta, jo īpaši tāpēc, ka tās nav atkarīgas no vērtību skalas un datu vienībām. Relatīvo kļūdu mēra daļās vai procentos. Tā, piemēram, ja

, bet , tad , un ja Un ,

tā tad .

Lai skaitliski novērtētu funkcijas kļūdu, jums jāzina darbību kļūdas aprēķināšanas pamatnoteikumi:

· saskaitot un atņemot skaitļus skaitļu absolūtās kļūdas summējas

· reizinot un dalot skaitļus to relatīvās kļūdas ir sakrautas viena virs otras

· kad tiek paaugstināts līdz aptuvena skaitļa pakāpei tā relatīvā kļūda tiek reizināta ar eksponentu

Piemērs 1.1.2-1. Dota funkcija: . Atrodiet vērtības absolūtās un relatīvās kļūdas (aritmētisko darbību izpildes rezultāta kļūdu), ja vērtības ir zināmi, un 1 ir precīzs skaitlis, un tā kļūda ir nulle.

Šādi nosakot relatīvās kļūdas vērtību, var atrast absolūtās kļūdas vērtību kā , kur vērtību aprēķina pēc aptuveno vērtību formulas

Tā kā precīza daudzuma vērtība parasti nav zināma, aprēķins Un saskaņā ar iepriekš minētajām formulām nav iespējams. Tāpēc praksē tiek novērtētas veidlapas robežkļūdas:

(1.1.2-3)

kur Un - zināmās vērtības, kas ir absolūtās un relatīvās kļūdas augšējās robežas, citādi tās sauc - ierobežojošās absolūtās un ierobežojošās relatīvās kļūdas. Tādējādi precīza vērtība ir:

Ja vērtība tad zināms , un ja vērtība ir zināma , tad

Fizikālos lielumus raksturo jēdziens "kļūdas precizitāte". Ir teiciens, ka veicot mērījumus var tikt pie zināšanām. Tātad būs iespējams noskaidrot, kāds ir mājas augstums vai ielas garums, tāpat kā daudzi citi.

Ievads

Sapratīsim jēdziena "izmērīt vērtību" nozīmi. Mērīšanas process ir to salīdzināšana ar viendabīgiem lielumiem, kas tiek ņemti par vienību.

Tilpuma noteikšanai izmanto litrus, masas aprēķināšanai izmanto gramus. Lai aprēķinu veikšana būtu ērtāka, ieviesām starptautiskās mērvienību klasifikācijas SI sistēmu.

Purva garuma mērīšanai metros, masas - kilogramos, tilpuma - kubiklitros, laika - sekundēs, ātruma - metros sekundē.

Aprēķinot fizikālie lielumi ne vienmēr ir jāizmanto tradicionālā metode, pietiek ar aprēķinu, izmantojot formulu. Piemēram, lai aprēķinātu tādus rādītājus kā Vidējais ātrums, nobrauktais attālums jāsadala ar ceļā pavadīto laiku. Šādi tiek aprēķināts vidējais ātrums.

Izmantojot mērvienības, kas ir desmit, simts, tūkstoš reižu lielākas par pieņemto mērvienību rādītājiem, tās sauc par daudzkārtējām.

Katra prefiksa nosaukums atbilst tā reizinātāja numuram:

1. Deka.
2. Hecto.
3. Kilo.
4. Mega.
5. Giga.
6. Tera.

Fizikālajā zinātnē šādu faktoru rakstīšanai izmanto jaudu 10. Piemēram, miljonu apzīmē ar 10 6 .

Vienkāršā lineālā garumam ir mērvienība - centimetrs. Viņa ir 100 reizes mazāk par metru. 15 cm lineāls ir 0,15 m garš.

Lineāls ir vienkāršākā forma mērinstrumenti garuma mērīšanai. Sarežģītākas ierīces attēlo termometrs - lai higrometrs - lai noteiktu mitrumu, ampērmetrs - lai izmērītu spēka līmeni, ar kādu izplatās elektriskā strāva.

Cik precīzi būs mērījumi?

Paņemiet lineālu un vienkāršu zīmuli. Mūsu uzdevums ir izmērīt šo rakstāmpiederumu garumu.

Vispirms jums jānosaka, kāda ir dalījuma vērtība, kas norādīta mērierīces skalā. Uz diviem dalījumiem, kas ir tuvākie skalas sitieni, tiek rakstīti skaitļi, piemēram, "1" un "2".

Ir jāaprēķina, cik dalījumu ir iekļauti šo skaitļu intervālā. Ja jūs pareizi saskaitāt, jūs saņemat "10". Atņemiet no skaitļa, kas ir lielāks, no skaitļa, kas būs mazāks, un dala ar skaitli, kas veido dalījumu starp cipariem:

(2-1)/10 = 0,1 (cm)

Tātad mēs nosakām, ka cena, kas nosaka kancelejas preču sadalījumu, ir skaitlis 0,1 cm vai 1 mm. Skaidri parādīts, kā, izmantojot jebkuru mērierīci, tiek noteikts dalījuma cenas rādītājs.

Izmērot zīmuli, kura garums ir nedaudz mazāks par 10 cm, mēs izmantosim iegūtās zināšanas. Ja uz lineāla nav nelielu sadalījumu, secināts, ka objekta garums ir 10 cm. Šo aptuveno vērtību sauc par mērījuma kļūdu. Tas norāda neprecizitātes līmeni, ko var pieļaut mērījumā.

Zīmuļa garuma parametru noteikšana ar vairāk augsts līmenis precizitāte, lielāka dalījuma vērtība nodrošina lielāku mērīšanas precizitāti, kas nodrošina mazāku kļūdu.

Šajā gadījumā nevar veikt absolūti precīzus mērījumus. Un rādītājiem nevajadzētu pārsniegt sadalījuma cenas lielumu.

Konstatēts, ka mērījumu kļūdas lielums ir ½ no cenas, kas norādīta uz izmēru noteikšanai izmantotā instrumenta graduācijām.

Pēc zīmuļa mērīšanas pie 9,7 cm mēs nosakām tā kļūdas rādītājus. Tā ir 9,65–9,85 cm atstarpe.

Formula, kas mēra šādu kļūdu, ir aprēķins:

A = a ± D (a)

A - daudzuma veidā mērīšanas procesiem;

a - mērījuma rezultāta vērtība;

D - absolūtās kļūdas apzīmējums.

Atņemot vai pievienojot vērtības ar kļūdu, rezultāts būs vienāds ar kļūdu rādītāju summu, kas ir katra atsevišķa vērtība.

Ievads koncepcijā

Ja ņemam vērā atkarībā no tā, kā tas tiek izteikts, mēs varam atšķirt šādas šķirnes:

• Absolūti.
• Radinieks.
• Ņemot vērā.

Absolūto mērījumu kļūdu norāda ar lielo burtu "Delta". Šis jēdziens tiek definēts kā starpība starp izmērītā fiziskā daudzuma izmērītajām un faktiskajām vērtībām.

Absolūtās mērījumu kļūdas izteiksme ir jāmēra daudzuma vienības.

Mērot masu, tā tiks izteikta, piemēram, kilogramos. Šis nav mērījumu precizitātes standarts.

Kā aprēķināt tiešo mērījumu kļūdu?

Ir veidi, kā attēlot mērījumu kļūdas un tās aprēķināt. Lai to izdarītu, ir svarīgi spēt noteikt fizisko lielumu ar nepieciešamo precizitāti, zināt, kas ir absolūtā mērījumu kļūda, ka neviens to nekad nevarēs atrast. Jūs varat aprēķināt tikai tā robežvērtību.

Pat ja šo terminu lieto nosacīti, tas precīzi norāda robeždatus. Absolūtās un relatīvās mērījumu kļūdas tiek apzīmētas ar vienādiem burtiem, atšķirība ir to pareizrakstībā.

Mērot garumu, absolūtā kļūda tiks mērīta tajās mērvienībās, kurās tiek aprēķināts garums. Un relatīvā kļūda tiek aprēķināta bez izmēriem, jo ​​tā ir absolūtās kļūdas attiecība pret mērījuma rezultātu. Šo vērtību bieži izsaka procentos vai daļās.

Absolūtajām un relatīvajām mērījumu kļūdām ir vairākas Dažādi ceļi aprēķini atkarībā no tā, kādi fizikālie lielumi.

Tiešās mērīšanas jēdziens

Tiešo mērījumu absolūtā un relatīvā kļūda ir atkarīga no ierīces precizitātes klases un spējas noteikt svēršanas kļūdu.

Pirms runāt par to, kā tiek aprēķināta kļūda, ir jāprecizē definīcijas. Tiešais mērījums ir mērījums, kurā rezultāts tiek tieši nolasīts no instrumenta skalas.

Kad mēs izmantojam termometru, lineālu, voltmetru vai ampērmetru, mēs vienmēr veicam tiešus mērījumus, jo mēs tieši izmantojam ierīci ar skalu.

Ir divi faktori, kas ietekmē veiktspēju:

• Instrumenta kļūda.
• Atsauces sistēmas kļūda.

Absolūtās kļūdas robeža tiešajiem mērījumiem būs vienāda ar ierīces uzrādītās kļūdas un nolasīšanas procesā radušās kļūdas summu.

D = D (pr.) + D (nav)

Medicīniskā termometra piemērs

Precizitātes vērtības ir norādītas uz paša instrumenta. Medicīniskajā termometrā tiek reģistrēta kļūda 0,1 grādi pēc Celsija. Lasīšanas kļūda ir puse no dalīšanas vērtības.

D = C/2

Ja dalījuma vērtība ir 0,1 grāds, tad medicīniskajam termometram var veikt aprēķinus:

D \u003d 0,1 o C + 0,1 o C / 2 \u003d 0,15 o C

Uz aizmugurējā puse cita termometra skalas ir tehniskas specifikācijas un norādīts, ka pareiziem mērījumiem nepieciešams termometru iegremdēt ar visu muguru. nav precizēts. Vienīgā atlikušā kļūda ir skaitīšanas kļūda.

Ja šī termometra skalas dalījuma vērtība ir 2 o C, tad temperatūru var izmērīt ar precizitāti līdz 1 o C. Tās ir pieļaujamās absolūtās mērījumu kļūdas robežas un absolūtās mērījuma kļūdas aprēķins.

Elektriskajos mērinstrumentos tiek izmantota īpaša sistēma precizitātes aprēķināšanai.

Elektrisko mērinstrumentu precizitāte

Lai norādītu šādu ierīču precizitāti, tiek izmantota vērtība, ko sauc par precizitātes klasi. Tās apzīmēšanai tiek izmantots burts "Gamma". Lai precīzi noteiktu absolūtās un relatīvās mērījumu kļūdas, jāzina ierīces precizitātes klase, kas norādīta uz skalas.

Ņemiet, piemēram, ampērmetru. Tās skala norāda precizitātes klasi, kas rāda skaitli 0,5. Tas ir piemērots mērījumiem pie nemainīgas un maiņstrāva, attiecas uz elektromagnētiskās sistēmas ierīcēm.

Šī ir diezgan precīza ierīce. Ja salīdzina to ar skolas voltmetru, var redzēt, ka tā precizitātes klase ir 4. Šī vērtība ir jāzina turpmākiem aprēķiniem.

Zināšanu pielietojums

Tādējādi D c \u003d c (max) X γ / 100

Šī formula tiks izmantota konkrēti piemēri. Izmantosim voltmetru un atradīsim kļūdu, mērot akumulatora sniegto spriegumu.

Savienosim akumulatoru tieši voltmetram, iepriekš pārbaudot, vai bultiņa ir uz nulles. Kad ierīce tika pievienota, bultiņa novirzījās par 4,2 iedaļām. Šo stāvokli var raksturot šādi:

1. Var redzēt, ka U maksimālā vērtība šim vienumam ir 6.
2. Precizitātes klase -(γ) = 4.
3. U(o) = 4,2 V.
4. C = 0,2 V

Izmantojot šīs formulas datus, absolūtās un relatīvās mērījumu kļūdas aprēķina šādi:

D U \u003d DU (piem.) + C / 2

D U (pr.) \u003d U (maks.) X γ / 100

D U (pr.) \u003d 6 V X 4/100 \u003d 0,24 V

Šī ir ierīces kļūda.

Absolūtās mērījumu kļūdas aprēķins šajā gadījumā tiks veikts šādi:

D U = 0,24 V + 0,1 V = 0,34 V

Izmantojot aplūkoto formulu, jūs varat viegli uzzināt, kā aprēķināt absolūto mērījumu kļūdu.

Pastāv noapaļošanas kļūdu noteikums. Tas ļauj atrast vidējo vērtību starp absolūto kļūdu robežu un relatīvo.

Mācīšanās noteikt svēršanas kļūdu

Šis ir viens no tiešo mērījumu piemēriem. Uz īpaša vieta ir vērts nosvērt. Galu galā sviras svariem nav skalas. Uzzināsim, kā noteikt šāda procesa kļūdu. Masas mērīšanas precizitāti ietekmē atsvaru precizitāte un pašu svaru pilnība.

Mēs izmantojam līdzsvara svarus ar atsvaru komplektu, kas jānovieto tieši svaru labajā pusē. Paņemiet lineālu svēršanai.

Pirms eksperimenta sākšanas jums ir jāsabalansē svari. Mēs uzliekam lineālu uz kreisās bļodas.

Masa būs vienāda ar uzstādīto svaru summu. Noteiksim šī daudzuma mērījuma kļūdu.

D m = D m (svars) + D m (svars)

Masas mērīšanas kļūda sastāv no diviem terminiem, kas saistīti ar svariem un svariem. Lai noskaidrotu katru no šīm vērtībām, svaru un svaru ražošanas rūpnīcās produkti tiek piegādāti ar īpašiem dokumentiem, kas ļauj aprēķināt precizitāti.

Tabulu pielietojums

Izmantosim standarta tabulu. Svaru kļūda ir atkarīga no tā, cik liela masa ir uzlikta uz svariem. Jo lielāks tas ir, jo lielāka ir attiecīgi kļūda.

Pat ja jūs uzliksit ļoti vieglu korpusu, būs kļūda. Tas ir saistīts ar berzes procesu, kas notiek asīs.

Otrā tabula attiecas uz svaru kopu. Tas norāda, ka katram no tiem ir sava masas kļūda. 10 gramiem ir 1 mg kļūda, kā arī 20 gramiem. Mēs aprēķinām katra šī svara kļūdu summu, kas ņemta no tabulas.

Masu un masas kļūdu ir ērti rakstīt divās rindās, kas atrodas viena zem otras. Jo mazāks svars, jo precīzāks mērījums.

Rezultāti

Izskatāmā materiāla gaitā tika konstatēts, ka absolūto kļūdu noteikt nav iespējams. Varat iestatīt tikai tā robežrādītājus. Šim nolūkam tiek izmantotas iepriekš aprēķinos aprakstītās formulas. Šis materiāls ierosināts mācīties skolā 8.-9.klašu skolēniem. Balstoties uz iegūtajām zināšanām, iespējams atrisināt absolūto un relatīvo kļūdu noteikšanas uzdevumus.

Pieņemsim, ka precīzs tabulas platums ir A = 384 mm, un, to izmērot, mēs ieguvām a = 381 mm. Tiek izsaukts izmērītā daudzuma precīzās vērtības un tā aptuvenās vērtības starpības modulis absolūta kļūda. IN šis piemērs absolūtā kļūda 3 mm. Bet praksē mēs nekad nezinām precīzu izmērītā daudzuma vērtību, tāpēc mēs nevaram precīzi zināt absolūto kļūdu.

Bet parasti mēs zinām mērinstrumentu precizitāti, novērotāja pieredzi, veicot mērījumus utt. Tas ļauj veidot priekšstatu par absolūto mērījumu kļūdu. Ja, piemēram, ar mērlenti izmērām telpas garumu, tad mums nav grūti ņemt vērā metrus un centimetrus, bet diez vai mēs varēsim ņemt vērā milimetrus. Jā, tas nav vajadzīgs. Tāpēc mēs apzināti pieļaujam kļūdu 1 cm robežās. Absolūtā kļūda telpas garumā ir mazāka par 1 cm Mērot jebkura segmenta garumu ar milimetru lineālu, mums ir tiesības apgalvot, ka mērījuma kļūda nav pārsniedz 1 mm.

Aptuvenā skaitļa a absolūtā kļūda e a ļauj noteikt robežas, kurās atrodas precīzs skaitlis A:

Absolūtā kļūda nav pietiekams mērījuma kvalitātes rādītājs un neraksturo aprēķinu vai mērījumu precizitāti. Ja ir zināms, ka, izmērot noteiktu garumu, mēs ieguvām absolūto kļūdu 1 cm, tad nevar izdarīt secinājumus par to, vai mēs mērījām labi vai slikti. Ja mēs izmērījām zīmuļa garumu 15 cm un kļūdījāmies par 1 cm, mūsu mērījums nav labs. Ja mēs izmērījām 20 metru koridoru un pieļāvām tikai 1 cm kļūdu, tad mūsu mērījums ir precizitātes paraugs. Svarīga ir ne tikai pati absolūtā kļūda, bet arī daļa no izmērītās vērtības.. Pirmajā piemērā abs. 1 cm kļūda ir 1/15 no izmērītās vērtības jeb 7%, otrajā - 1/2000 jeb 0,05%. Otrā dimensija ir daudz labāka.

Relatīvā kļūda ir absolūtās kļūdas attiecība pret aptuvenās vērtības absolūto vērtību:

Atšķirībā no absolūtās kļūdas, kas parasti ir dimensiju vērtība, relatīvā kļūda vienmēr ir bezdimensiju vērtība. Parasti to izsaka %.

Piemērs

Mērot 5 cm garumu, pieļaujama absolūtā kļūda 0,1 cm. Kāda ir relatīvā kļūda? (atbilde 2%)

Aprēķinot pilsētas iedzīvotāju skaitu, kas izrādījās 2 000 000, tika pieļauta 100 cilvēku kļūda. Kāda ir relatīvā kļūda? (Atbilde 0,005%)

Jebkura mērījuma rezultātu izsaka ar skaitli, kas tikai aptuveni raksturo izmērīto vērtību. Tāpēc aprēķinos, ar kuriem mēs saskaramies aptuvens cipariem. Rakstot aptuvenus skaitļus, tiek pieņemts, ka pēdējais cipars labajā pusē raksturo absolūtās kļūdas lielumu.

Piemēram, ja ir rakstīts 12,45, tas nenozīmē, ka vērtība, ko raksturo šis skaitlis, nesatur tūkstošdaļas. Var apgalvot, ka tūkstošdaļas mērījuma laikā netika ņemtas vērā, tāpēc absolūtā kļūda ir mazāka par pusi no pēdējā cipara vienības: . Līdzīgi, attiecībā uz aptuveno skaitli 1,283, mēs varam teikt, ka absolūtā kļūda ir mazāka par 0,0005: .

Aptuvenos skaitļus parasti raksta tā, lai absolūtā kļūda nepārsniegtu pēdējās vienību decimālzīme . Vai, citiem vārdiem sakot, aptuvenā skaitļa absolūto kļūdu raksturo decimālzīmju skaits aiz komata.

Ko darīt, ja pēc kāda daudzuma rūpīgas mērīšanas izrādās, ka tajā ir vesela skaitļa vienība, 2 desmitdaļas, 5 simtdaļas, nesatur tūkstošdaļas un desmit tūkstošdaļas nevar saskaitīt? Ja rakstām 1,25, tad tūkstošdaļas šajā ierakstā netiek ņemtas vērā, kamēr patiesībā mēs esam pārliecināti, ka tās nav. Šajā gadījumā viņu vietā ir ierasts likt 0 - jums jāraksta 1,250. Tādējādi skaitļi 1,25 un 1,250 nenozīmē vienu un to pašu. Pirmajā ir tūkstošdaļas; mēs tikai nezinām, cik daudz. Otrajā tūkstošdaļas nav, par desmit tūkstošdaļām neko nevar teikt.

Grūtāk ir rakstīt lielus aptuvenus skaitļus. Ļaujiet ciema iedzīvotāju skaitu vienāds 2000 cilvēku, un pilsētā aptuveni 457 000 iedzīvotāju. Turklāt mēs esam pārliecināti par pilsētu tūkstošos, bet pieļaujam kļūdu simtos un desmitos. Pirmajā gadījumā nulles skaitļa beigās norāda uz simtu, desmitu un vieninieku neesamību, mēs sauksim šādas nulles jēgpilnu; otrajā gadījumā nulles norāda uz mūsu nezināšanu par simtiem, desmitiem un vieniniekiem. Mēs sauksim šādas nulles nenozīmīgs. Rakstot aptuvenu skaitli, kas satur nulles, papildus jānorāda to nozīme. Nulles parasti ir nenozīmīgas. Dažreiz jūs varat norādīt nulles nenozīmīgumu, ierakstot skaitli eksponenciālā formā (457 * 10 3).

Salīdzināsim divu aptuveno skaitļu 1362,3 un 2,37 precizitāti. Pirmajā absolūtā kļūda nepārsniedz 0,1, otrajā tā ir 0,01. Tāpēc otrais skaitlis izskatās precīzāks nekā pirmais.

Aprēķināsim relatīvo kļūdu. Par pirmo numuru ; par otro . Otrais skaitlis ir ievērojami (gandrīz 100 reizes) mazāk precīzs nekā pirmais. Izrādās, tas ir tāpēc, ka pirmajā ciparā ir norādīti 5 pareizie (nozīmīgie) cipari, bet otrajā - tikai 3.

Visi aptuvenā skaitļa cipari, par kuriem mēs esam pārliecināti, tiks saukti par patiesajiem (nozīmīgajiem) cipariem. Nulles, kas atrodas tieši pa labi aiz komata, nav nozīmīgas, tās norāda tikai zīmīgo ciparu secību pa labi. Nulles skaitļa labajā pusē var būt gan nozīmīgas, gan nenozīmīgas. Piemēram, katrā no šiem cipariem ir 3 zīmīgi cipari: 283*10 5, 200*10 2, 22,5, 0,0811, 2,10, 0,0000458.

Piemērs

Cik nozīmīgo (pareizo) ciparu ir šādos skaitļos:

0.75 (2), 12.050 (5), 1875*10 5 (4), 0.06*10 9 (1)

Novērtējiet šādu aptuveno skaitļu relatīvo kļūdu:

nozīmīgas nulles: 21 000 (0,005%),

Ir viegli saprast, ka, lai aptuvenu novērtētu skaitļa relatīvo kļūdu, pietiek ar nozīmīgo ciparu skaita saskaitīšanu. Skaitlim, kuram ir tikai viens nozīmīgais cipars, relatīvā kļūda ir aptuveni 10%;

ar 2 zīmīgiem cipariem - 1%;

ar 3 zīmīgiem cipariem - 0,1%;

ar 4 zīmīgajiem cipariem - 0,01% utt.

Rēķinot ar aptuveniem skaitļiem, mūs interesēs jautājums: kā, pamatojoties uz dotajiem aptuvenajiem skaitļiem, iegūt atbildi ar nepieciešamo relatīvo kļūdu.

Bieži šajā gadījumā visi sākotnējie dati ir jāņem ar vienu un to pašu kļūdu, proti, ar neprecīzākā no dotajiem skaitļiem kļūdu. Tāpēc bieži vien ir nepieciešams aizstāt precīzāku skaitli ar mazāk precīzu - noapaļot uz augšu.

noapaļojot līdz desmitdaļām 27,136 » 27,1,

noapaļošana līdz veseliem skaitļiem 32,8 » 33.

Noapaļošanas noteikums: Ja noapaļošanas laikā izmestais galējais kreisais cipars ir mazāks par 5, tad pēdējais saglabātais cipars netiek mainīts; ja galējais kreisais cipars, kas jāizmet, ir lielāks par 5 vai ja tas ir vienāds ar 5, tad pēdējais saglabātais cipars tiek palielināts par 1.

Piemērs

kārta līdz desmitdaļām 17,96 (18,0)

apaļš līdz simtdaļām 14.127 (14.13)

kārtu, lai saglabātu 3 pareizos skaitļus: 83,501 (83,5), 728,21 (728), 0,0168835 (0,01688).

Lai novērtētu ar augstu sarežģītību veikto aprēķinu neprecizitāti, tiek izmantota absolūtā un relatīvā kļūda. Tos izmanto arī dažādos mērījumos un aprēķinu rezultātu noapaļošanai. Apsveriet, kā noteikt absolūto un relatīvo kļūdu.

Absolūta kļūda

Skaitļa absolūtā kļūda nosauciet atšķirību starp šo skaitli un tā precīzo vērtību.
Apsveriet piemēru : skolā mācās 374 skolēni. Ja šo skaitli noapaļo līdz 400, tad absolūtā mērījuma kļūda ir 400-374=26.

Lai aprēķinātu absolūto kļūdu, ir nepieciešams no vairāk atņemt mazāk.

Ir absolūtās kļūdas formula. Mēs apzīmējam precīzu skaitli ar burtu A, bet ar burtu a - tuvinājumu precīzam skaitlim. Aptuvenais skaitlis ir skaitlis, kas nedaudz atšķiras no precīzā skaitļa un parasti to aizstāj aprēķinos. Tad formula izskatīsies šādi:

Δa=A-a. Kā atrast absolūto kļūdu pēc formulas, mēs apspriedām iepriekš.

Praksē ar absolūto kļūdu nepietiek, lai precīzi novērtētu mērījumu. Reti ir iespējams precīzi zināt izmērītā daudzuma vērtību, lai aprēķinātu absolūto kļūdu. Ja izmērāt 20 cm garu grāmatu un pieļaujat 1 cm kļūdu, mērījumu varat nolasīt ar lielu kļūdu. Bet, ja, mērot 20 metru sienu, tika pieļauta 1 cm kļūda, šo mērījumu var uzskatīt par pēc iespējas precīzāku. Tāpēc praksē vairāk nozīmi ir relatīvās mērījumu kļūdas definīcija.

Ierakstiet skaitļa absolūto kļūdu, izmantojot zīmi ±. Piemēram , tapešu ruļļa garums ir 30 m ± 3 cm Absolūtās kļūdas robežu sauc par ierobežojošo absolūto kļūdu.

Relatīvā kļūda

Relatīvā kļūda sauc par skaitļa absolūtās kļūdas attiecību pret pašu skaitli. Lai aprēķinātu relatīvo kļūdu studenta piemērā, sadaliet 26 ar 374. Iegūstam skaitli 0,0695, pārvēršam to procentos un iegūstam 6%. Relatīvā kļūda tiek apzīmēta procentos, jo tas ir bezizmēra lielums. Relatīvā kļūda ir precīzs mērījumu kļūdas novērtējums. Ja, mērot 10 cm un 10 m segmentu garumu, ņemam absolūto kļūdu 1 cm, tad relatīvās kļūdas būs attiecīgi vienādas ar 10% un 0,1%. Segmentam, kura garums ir 10 cm, 1 cm kļūda ir ļoti liela, tā ir 10% kļūda. Un desmit metru segmentam 1 cm nav nozīmes, tikai 0,1%.

Ir sistemātiskas un nejaušas kļūdas. Sistemātiskā kļūda ir kļūda, kas paliek nemainīga atkārtotu mērījumu laikā. Ietekmes uz mērīšanas procesu rezultātā rodas nejauša kļūda ārējie faktori un var mainīt tā vērtību.

Kļūdu aprēķināšanas noteikumi

Kļūdu nominālajai novērtēšanai ir vairāki noteikumi:

• saskaitot un atņemot skaitļus, jāsaskaita to absolūtās kļūdas;
• dalot un reizinot skaitļus, jāsaskaita relatīvās kļūdas;
• kad to paaugstina, relatīvā kļūda tiek reizināta ar eksponentu.

Aptuvenais un precīzi skaitļi tiek rakstīti, izmantojot decimāldaļas. Tiek ņemta tikai vidējā vērtība, jo precīzā vērtība var būt bezgalīgi gara. Lai saprastu, kā rakstīt šos skaitļus, jums jāapgūst pareizie un apšaubāmie skaitļi.

Patiesie skaitļi ir tie skaitļi, kuru cipars pārsniedz skaitļa absolūto kļūdu. Ja cipara cipars ir mazāks par absolūto kļūdu, to sauc par apšaubāmu. Piemēram , daļai no 3,6714 ar kļūdu 0,002 pareizi būs skaitļi 3,6,7, bet apšaubāmi būs 1 un 4. Aptuvenā skaitļa ierakstā ir atstāti tikai pareizie skaitļi. Daļa šajā gadījumā izskatīsies šādi - 3,67.

Ko mēs esam iemācījušies?

Mērījumu precizitātes novērtēšanai izmanto absolūtās un relatīvās kļūdas. Absolūtā kļūda ir atšķirība starp precīzu un aptuveno skaitli. Relatīvā kļūda ir skaitļa absolūtās kļūdas attiecība pret pašu skaitli. Praksē tiek izmantota relatīvā kļūda, jo tā ir precīzāka.