4 neracionāli skaitļi ar piemēriem. Kas ir racionālie un iracionālie skaitļi

Iracionālo skaitļu kopu parasti apzīmē ar kapitālu Latīņu burts I (\displaystyle \mathbb (I) ) treknrakstā bez aizpildījuma. Tādējādi: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q)), tas ir, iracionālo skaitļu kopa ir starpība starp reālo un racionālo skaitļu kopām.

Iracionālu skaitļu, precīzāk, segmentu, kas nav samērojami ar vienības garuma segmentu, esamību zināja jau senie matemātiķi: viņi zināja, piemēram, diagonāles un kvadrāta malas nesamērojamību, kas ir līdzvērtīga iracionalitātei. no numura.

Enciklopēdisks YouTube

1 / 5
Iracionāli ir:

Iracionalitātes pierādījumu piemēri

2. sakne

Teiksim otrādi: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionāls, tas ir, attēlots kā daļa m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), kur m (\displaystyle m) ir vesels skaitlis un n (\displaystyle n)- naturālais skaitlis.
Izlīdzināsim šķietamo vienādību:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displeja stils (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\labā bultiņa 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\bultiņa pa labi m^(2)=2n^(2)).
Stāsts

Senatne

Iracionālo skaitļu jēdzienu netieši pieņēma Indijas matemātiķi 7. gadsimtā pirms mūsu ēras, kad Manava (ap 750. g. p.m.ē. – ap 690. g. p.m.ē.) atklāja, ka kvadrātsaknes dažus naturālus skaitļus, piemēram, 2 un 61, nevar izteikt skaidri [ ] .
Par pirmo iracionālo skaitļu esamības pierādījumu parasti piedēvē pitagorieti Hipasu no Metaponta (ap 500. g. p.m.ē.). Pitagoriešu laikā tika uzskatīts, ka ir viena garuma vienība, pietiekami maza un nedalāma, kas ir vesels reižu skaits, kas iekļauts jebkurā segmentā [ ] .
Precīzu datu par to, kāda skaitļa neracionalitāti ir pierādījis Hipazs, nav. Saskaņā ar leģendu, viņš to atradis, pētot pentagrammas malu garumus. Tāpēc ir saprātīgi pieņemt, ka tā bija zelta griezums [ ] .
Grieķu matemātiķi šo nesamērojamo lielumu attiecību sauca alogos(neizsakāms), bet saskaņā ar leģendām Hipasam netika izrādīta pienācīga cieņa. Pastāv leģenda, ka Hipass atklājumu izdarīja jūras ceļojuma laikā, un citi pitagorieši viņu izmeta aiz borta, "lai radītu Visuma elementu, kas noliedz doktrīnu, ka visas Visuma būtības var reducēt līdz veseliem skaitļiem un to attiecībām. " Hipas atklājums izvirzīja Pitagora matemātiku nopietna problēma, iznīcinot visas teorijas pamatā esošo pieņēmumu, ka skaitļi un ģeometriski objekti ir viens un nedalāmi.

Ar vienības garuma segmentu jau senie matemātiķi zināja: viņi zināja, piemēram, diagonāles un kvadrāta malas nesamērojamību, kas ir līdzvērtīga skaitļa iracionalitātei.

Iracionāli ir:

Iracionalitātes pierādījumu piemēri

2. sakne

Pieņemsim pretējo: tas ir racionāls, tas ir, tas tiek attēlots kā nesamazināma daļa, kur un ir veseli skaitļi. Izlīdzināsim šķietamo vienādību:
.
No tā izriet, ka pat, tātad, pat un . Lai kur veselums. Tad

Tāpēc pat, tātad, pat un . Mēs to esam ieguvuši un esam pāra, kas ir pretrunā ar daļskaitļa nereducējamību. Tātad sākotnējais pieņēmums bija nepareizs, un - ir racionāls skaitlis.

Skaitļa 3 binārais logaritms

Pieņemsim pretējo: tas ir racionāls, tas ir, tas tiek attēlots kā daļa, kur un ir veseli skaitļi. Kopš , un to var uzskatīt par pozitīvu. Tad

Bet tas ir skaidrs, tas ir dīvaini. Mēs iegūstam pretrunu.

e

Stāsts

Iracionālo skaitļu jēdzienu netieši pieņēma Indijas matemātiķi 7. gadsimtā pirms mūsu ēras, kad Manava (ap 750. g. p.m.ē. – ap 690. g. p.m.ē.) konstatēja, ka dažu naturālu skaitļu kvadrātsaknes, piemēram, 2 un 61, nevar skaidri izteikt.

Pirmais iracionālo skaitļu esamības pierādījums parasti tiek piedēvēts Hipasam no Metaponta (ap 500. g. p.m.ē.), pitagorietim, kurš šo pierādījumu atrada, pētot pentagrammas malu garumus. Pitagoriešu laikā tika uzskatīts, ka ir viena garuma vienība, pietiekami maza un nedalāma, kas ir vesels reižu skaits, kas iekļauts jebkurā segmentā. Tomēr Hipass apgalvoja, ka nav vienas garuma vienības, jo pieņēmums par tā esamību rada pretrunu. Viņš parādīja, ka, ja hipotenūza ir vienādsānu taisnleņķa trīsstūris satur veselu vienību segmentu skaitu, tad šim skaitlim vienlaikus jābūt gan pāra, gan nepāra. Pierādījums izskatījās šādi:
- Vienādsānu taisnstūra trīsstūra hipotenūzas garuma attiecību pret kājas garumu var izteikt kā a:b, kur a un b izvēlēts kā mazākais iespējamais.
- Saskaņā ar Pitagora teorēmu: a² = 2 b².
- Kā a² pat, a jābūt pāra (jo nepāra skaitļa kvadrāts būtu nepāra).
- Ciktāl a:b nesamazināms b jābūt nepāra.
- Kā a pat, apzīmēt a = 2y.
- Tad a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², tāpēc b tad ir vienmērīgs b pat.
- Tomēr ir pierādīts, ka b nepāra. Pretruna.
Grieķu matemātiķi šo nesamērojamo lielumu attiecību sauca alogos(neizsakāms), bet saskaņā ar leģendām Hipasam netika izrādīta pienācīga cieņa. Pastāv leģenda, ka Hipass atklājumu izdarīja jūras ceļojuma laikā, un citi pitagorieši viņu izmeta aiz borta, "lai radītu Visuma elementu, kas noliedz doktrīnu, ka visas Visuma būtības var reducēt līdz veseliem skaitļiem un to attiecībām. " Hipaza atklāšana radīja nopietnu problēmu Pitagora matemātikai, iznīcinot visas teorijas pamatā esošo pieņēmumu, ka skaitļi un ģeometriski objekti ir viens un nedalāmi.

Skatīt arī

Piezīmes

Skaitliskās sistēmas
Skaitīšana
komplekti Naturālie skaitļi () Veseli skaitļi ()

racionāls skaitlis ir skaitlis, kas attēlots ar parastu daļskaitli m/n, kur skaitītājs m ir vesels skaitlis un saucējs n ir naturāls skaitlis. Jebkuru racionālu skaitli var attēlot kā periodisku bezgalīgu decimāldaļskaitli. Racionālo skaitļu kopu apzīmē ar Q.

Ja reāls skaitlis nav racionāls, tad tas ir neracionāls skaitlis . Decimāldaļas, kas izsaka iracionālus skaitļus, ir bezgalīgas un nav periodiskas. Iracionālo skaitļu kopu parasti apzīmē ar lielo latīņu burtu I.

Tiek izsaukts īstais numurs algebriskā, ja tā ir kāda polinoma (nenulles pakāpes) sakne ar racionāliem koeficientiem. Tiek izsaukts jebkurš skaitlis, kas nav algebrisks pārpasaulīgs.

Dažas īpašības:
Risinot uzdevumus, ir ērti kopā ar iracionālo skaitli a + b√ c (kur a, b ir racionālie skaitļi, c ir vesels skaitlis, kas nav naturāla skaitļa kvadrāts), uzskatīt skaitli “konjugētu” ar it a - b√ c: tā summa un reizinājums ar oriģinālajiem - racionālajiem skaitļiem. Tātad a + b√ c un a – b√ c ir kvadrātvienādojuma saknes ar veseliem skaitļiem.

Problēmas ar risinājumiem

1. Pierādiet to

a) skaitlis √ 7;

b) skaitlis lg 80;

c) skaitlis √ 2 + 3 √ 3;

ir neracionāls.

a) Pieņemsim, ka skaitlis √ 7 ir racionāls. Tad ir tādi kopirmvārdi p un q, ka √ 7 = p/q, no kurienes iegūstam p 2 = 7q 2 . Tā kā p un q ir pirmskaitļi, tad p 2, un līdz ar to p dalās ar 7. Tad р = 7k, kur k ir kāds naturāls skaitlis. Tādējādi q 2 = 7k 2 = pk, kas ir pretrunā ar to, ka p un q ir pirmskaitļi.

Tātad pieņēmums ir nepatiess, tāpēc skaitlis √ 7 ir neracionāls.

b) Pieņemsim, ka skaitlis lg 80 ir racionāls. Tad ir naturālie p un q tādi, ka lg 80 = p/q vai 10 p = 80 q , no kurienes iegūstam 2 p–4q = 5 q–p . Ņemot vērā, ka skaitļi 2 un 5 ir pirmskaitļi, iegūstam, ka pēdējā vienādība iespējama tikai p–4q = 0 un q–p = 0. No kurienes p = q = 0, kas nav iespējams, jo p un q ir izvēlēts kā dabisks.

Tātad pieņēmums ir nepatiess, tāpēc skaitlis lg 80 ir neracionāls.

c) Apzīmēsim šo skaitli ar x.

Pēc tam (x - √ 2) 3 \u003d 3 vai x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 (3x 2 + 2). Pēc šī vienādojuma kvadrātošanas mēs iegūstam, ka x ir jāizpilda vienādojums

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

Tās racionālās saknes var būt tikai skaitļi 1 un -1. Pārbaude parāda, ka 1 un -1 nav saknes.

Tātad dotais skaitlis √ 2 + 3 √ 3 ir neracionāls.

2. Ir zināms, ka skaitļi a, b, √ a –√ b ,- racionāls. Pierādiet to √ a un √ b ir arī racionāli skaitļi.

Apsveriet produktu

(√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

Numurs √ a + √ b , kas ir vienāda ar skaitļu attiecību a – b un √ a –√ b , ir racionāls, jo divu racionālu skaitļu koeficients ir racionāls skaitlis. Divu racionālu skaitļu summa

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

ir racionāls skaitlis, to atšķirība,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

ir arī racionāls skaitlis, kas bija jāpierāda.

3. Pierādīt, ka ir pozitīvi iracionāli skaitļi a un b, kuriem skaitlis a b ir naturāls.

4. Vai ir racionāli skaitļi a, b, c, d, kas apmierina vienādību?

(a+b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

kur n ir naturāls skaitlis?

Ja nosacījumā dotā vienādība ir izpildīta un skaitļi a, b, c, d ir racionāli, tad ir izpildīta arī vienādība:

(a-b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Bet 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Iegūtā pretruna pierāda, ka sākotnējā vienādība nav iespējama.

Atbilde: tie neeksistē.

5. Ja nogriežņi ar garumiem a, b, c veido trīsstūri, tad visiem n = 2, 3, 4, . . . segmenti ar garumiem n √ a , n √ b , n √ c arī veido trīsstūri. Pierādi.

Ja nogriežņi ar garumiem a, b, c veido trīsstūri, tad trijstūra nevienādība dod

Tāpēc mums ir

( n √ a + n √ b ) n > a + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ a + n √ b > n √ c .

Pārējie trīsstūra nevienlīdzības pārbaudes gadījumi tiek aplūkoti līdzīgi, no kā izriet secinājums.

6. Pierādīt, ka bezgalīgā decimāldaļdaļa 0,1234567891011121314... veseli skaitļi secībā) ir iracionāls skaitlis.

Kā zināms, racionālie skaitļi tiek izteikti kā decimāldaļdaļas, kurām ir periods, kas sākas no noteiktas zīmes. Tāpēc pietiek pierādīt, ka šī daļa nav periodiska ar nevienu zīmi. Pieņemsim, ka tas tā nav, un kāda secība T, kas sastāv no n cipariem, ir daļdaļas periods, sākot no m-tās decimāldaļas. Skaidrs, ka aiz m-tā cipara ir cipari, kas nav nulle, tātad ciparu T secībā ir cipars, kas nav nulle. Tas nozīmē, ka, sākot no m-tā cipara aiz komata, starp jebkuriem n cipariem pēc kārtas ir cipars, kas nav nulle. Taču šīs daļskaitļa decimāldaļās ir jābūt decimālzīmei skaitlim 100...0 = 10 k , kur k > m un k > n. Ir skaidrs, ka šis ieraksts atradīsies pa labi no m-tā cipara un satur vairāk nekā n nulles pēc kārtas. Tādējādi mēs iegūstam pretrunu, kas pabeidz pierādījumu.

7. Dota bezgalīga decimāldaļdaļa 0,a 1 a 2 ... . Pierādīt, ka ciparus tā decimāldaļās var pārkārtot tā, lai iegūtā daļa izteiktu racionālu skaitli.

Atcerieties, ka daļskaitlis izsaka racionālu skaitli tad un tikai tad, ja tas ir periodisks, sākot no kādas zīmes. Mēs sadalām skaitļus no 0 līdz 9 divās klasēs: pirmajā klasē iekļaujam tos skaitļus, kas sākotnējā daļā sastopami ierobežotu skaitu reižu, otrajā klasē - tos, kas sākotnējā daļā sastopami bezgalīgi daudz reižu. Sāksim rakstīt periodisko daļskaitli, ko var iegūt no sākotnējās ciparu permutācijas. Vispirms aiz nulles un komata nejaušā secībā ierakstām visus skaitļus no pirmās klases - katru tik reižu, cik tas notiek sākotnējās daļskaitļa ievadē. Uzrakstītie pirmās klases cipari būs pirms punkta decimāldaļas daļdaļā. Tālāk mēs vienu reizi pierakstām skaitļus no otrās klases kaut kādā secībā. Mēs pasludināsim šo kombināciju par periodu un atkārtosim to bezgalīgi daudz reižu. Tādējādi mēs esam izrakstījuši nepieciešamo periodisko daļu, kas izsaka kādu racionālu skaitli.

8. Pierādīt, ka katrā bezgalīgā decimāldalībā ir patvaļīga garuma decimālciparu virkne, kas daļdaļas paplašināšanā notiek bezgalīgi daudz reižu.

Lai m ir patvaļīgi dots naturāls skaitlis. Sadalīsim šo bezgalīgo decimāldaļskaitli segmentos, katrs ar m cipariem. Šādu segmentu būs bezgalīgi daudz. Citā pusē, dažādas sistēmas, kas sastāv no m cipariem, ir tikai 10 m , t.i., galīgs skaitlis. Līdz ar to vismaz viena no šīm sistēmām šeit ir jāatkārto bezgalīgi daudzas reizes.

komentēt. Iracionāliem skaitļiem √ 2 , π vai e mēs pat nezinām, kurš cipars atkārtojas bezgalīgi daudzas reizes bezgalīgajās decimāldaļās, kas tos attēlo, lai gan var viegli pierādīt, ka katrs no šiem cipariem satur vismaz divus atšķirīgus šādus ciparus.

9. Elementāri pierādiet, ka vienādojuma pozitīvā sakne

ir neracionāls.

Ja x > 0, vienādojuma kreisā puse palielinās ar x, un ir viegli redzēt, ka pie x = 1,5 tas ir mazāks par 10 un pie x = 1,6 ir lielāks par 10. Tāpēc vienīgā pozitīvā sakne vienādojums atrodas intervālā (1,5 ; 1,6).

Mēs rakstām sakni kā nereducējamu daļskaitli p/q, kur p un q ir daži naturālie skaitļi. Tad, ja x = p/q, vienādojumam būs šāda forma:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

no kā izriet, ka p ir 10 dalītājs, tāpēc p ir vienāds ar vienu no skaitļiem 1, 2, 5, 10. Taču, izrakstot daļskaitļus ar skaitītājiem 1, 2, 5, 10, uzreiz pamanām, ka neviens no tie iekrīt intervālā (1,5; 1,6).

Tātad sākotnējā vienādojuma pozitīvo sakni nevar attēlot kā kopējā frakcija, kas nozīmē, ka tas ir neracionāls skaitlis.

10. a) Vai plaknē ir trīs punkti A, B un C tā, ka jebkuram punktam X vismaz viena no segmentiem XA, XB un XC garums ir neracionāls?

b) Trijstūra virsotņu koordinātas ir racionālas. Pierādīt, ka arī tā ierobežotā apļa centra koordinātas ir racionālas.

c) Vai eksistē sfēra, uz kuras ir tieši viens racionāls punkts? (Racionālais punkts ir punkts, kuram visas trīs Dekarta koordinātas ir racionāli skaitļi.)

a) Jā, ir. Apzīmēsim nogriežņa AB viduspunktu C. Tad XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Ja skaitlis AB 2 ir iracionāls, tad skaitļi XA, XB un XC nevar būt vienlaikus racionāli.

b) Trijstūra virsotņu koordinātas ir (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) un (a 3 ; b 3). Tā ierobežotā apļa centra koordinātas ir norādītas vienādojumu sistēmā:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Ir viegli pārbaudīt, vai šie vienādojumi ir lineāri, kas nozīmē, ka aplūkotās vienādojumu sistēmas risinājums ir racionāls.

c) Šāda sfēra pastāv. Piemēram, sfēra ar vienādojumu

(x - √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Punkts O ar koordinātām (0; 0; 0) ir racionāls punkts, kas atrodas uz šīs sfēras. Pārējie sfēras punkti ir neracionāli. Pierādīsim to.

Pieņemsim pretējo: lai (x; y; z) ir sfēras racionāls punkts, kas atšķiras no punkta O. Ir skaidrs, ka x atšķiras no 0, jo x = 0 ir unikāls risinājums (0; 0). ; 0), ko mēs tagad nevaram ieinteresēt. Izvērsīsim iekavas un izteiksim √ 2 :

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

kas nevar būt racionālajam x, y, z un iracionālajam √ 2 . Tātad O(0; 0; 0) ir vienīgais racionālais punkts aplūkotajā sfērā.

Problēmas bez risinājumiem

1. Pierādiet, ka skaitlis

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

ir neracionāls.

2. Uz kādiem veseliem skaitļiem m un n ir spēkā vienādība (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n?

3. Vai ir tāds skaitlis a, kurā skaitļi a - √ 3 un 1/a + √ 3 ir veseli skaitļi?

4. Vai skaitļi 1, √ 2, 4 var būt aritmētiskās progresijas locekļi (nav obligāti blakus)?

5. Pierādīt, ka jebkuram pozitīvam veselam skaitlim n vienādojumam (x + y √ 3 ) 2n = 1 + √ 3 nav atrisinājumu racionālajos skaitļos (x; y).

Racionālais skaitlis ir skaitlis, ko var attēlot kā daļskaitli, kur . Q ir visu racionālo skaitļu kopa.

Racionālos skaitļus iedala: pozitīvos, negatīvos un nulles.

Katru racionālo skaitli var saistīt ar vienu punktu uz koordinātu līnijas. Attiecība "pa kreisi" punktiem atbilst attiecībai "mazāk nekā" šo punktu koordinātām. Var redzēt, ka katrs negatīvais skaitlis ir mazāks par nulli un katrs pozitīvais skaitlis; no diviem negatīviem skaitļiem tas, kura modulis ir lielāks, ir mazāks. Tātad -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Jebkuru racionālu skaitli var attēlot kā decimālo periodisko daļu. Piemēram, .

Algoritmi operācijām ar racionāliem skaitļiem izriet no zīmju noteikumiem attiecīgajām darbībām ar nulles un pozitīvām daļām. Q veic dalīšanu, izņemot dalīšanu ar nulli.

Jebkurš lineārais vienādojums, t.i. vienādojums formā ax+b=0, kur , ir atrisināms kopā Q, bet ne jebkurš kvadrātvienādojums laipns , ir atrisināms racionālos skaitļos. Ne katram koordinātu līnijas punktam ir racionāls punkts. Pat 6. gadsimta beigās pirms mūsu ēras. n. e Pitagora skolā tika pierādīts, ka kvadrāta diagonāle nav samērojama ar tā augstumu, kas ir līdzvērtīgs apgalvojumam: "Vienādojumam nav racionālu sakņu." Viss iepriekš minētais noveda pie nepieciešamības paplašināt kopu Q, tika ieviests iracionālā skaitļa jēdziens. Iracionālo skaitļu kopu apzīmē ar burtu Dž .

Koordinātu taisnē visiem punktiem, kuriem nav racionālu koordinātu, ir iracionālas koordinātes. , kur r– komplekti reāli skaitļi. universālā veidā reālo skaitļu piešķiršana ir decimāldaļas. Periodiskās decimāldaļas nosaka racionālos skaitļus, bet neperiodiskās decimāldaļas – iracionālos skaitļus. Tātad, 2,03 (52) ir racionāls skaitlis, 2,03003000300003 ... (katra nākamā cipara “3” periods tiek rakstīts par vienu nulli vairāk) ir iracionāls skaitlis.

Kopām Q un R piemīt pozitivitātes īpašības: starp jebkuriem diviem racionālajiem skaitļiem ir racionāls skaitlis, piemēram, ekoi a
Katram neracionālajam skaitlim α ar jebkuru precizitāti var norādīt racionālu tuvinājumu gan ar deficītu, gan ar pārpalikumu: a< α
Saknes iegūšana no dažiem racionāliem skaitļiem noved pie neracionāliem skaitļiem. Dabiskās pakāpes saknes izvilkšana ir algebriska darbība, t.i. tā ievads ir saistīts ar formas algebriskā vienādojuma atrisināšanu . Ja n ir nepāra, t.i. n=2k+1, kur , tad vienādojumam ir viena sakne. Ja n ir pāra, n=2k, kur , tad a=0 vienādojumam ir viena sakne x=0, a<0 корней нет, при a>0 ir divas saknes, kas ir pretējas viena otrai. Saknes izvilkšana ir apgriezta darbība, paaugstinot līdz dabiskajam spēkam.

Nenegatīva skaitļa a n-tās pakāpes aritmētiskā sakne (īsuma labad sakne) ir nenegatīvs skaitlis b, kas ir vienādojuma sakne. N-tās pakāpes sakne no skaitļa a tiek apzīmēta ar simbolu. Ja n=2, saknes 2 pakāpe nav norādīta: .

Piemēram, jo 2 2 =4 un 2>0; , jo 3 3 =27 un 3>0; neeksistē, jo -4<0.

Ja n=2k un a>0, vienādojuma (1) saknes raksta kā un . Piemēram, vienādojuma x 2 \u003d 4 saknes ir 2 un -2.

n nepāra vienādojumam (1) ir viena sakne jebkuram . Ja a≥0, tad - šī vienādojuma sakne. Ja<0, то –а>0 un - vienādojuma sakne. Tātad vienādojumam x 3 \u003d 27 ir sakne.

Visus racionālos skaitļus var attēlot kā kopējo daļskaitli. Tas attiecas uz veseliem skaitļiem (piemēram, 12, -6, 0) un pēdējām decimāldaļdaļām (piemēram, 0,5; -3,8921) un bezgalīgām periodiskām decimāldaļām (piemēram, 0,11(23); -3 , (87) )).

Tomēr bezgalīgas vienreizējas decimāldaļas nevar attēlot kā parastās daļskaitļus. Tādi viņi ir iracionāli skaitļi(t.i. iracionāli). Šāda skaitļa piemērs ir π, kas ir aptuveni vienāds ar 3,14. Taču, ar ko tas precīzi atbilst, nevar noteikt, jo aiz skaitļa 4 ir bezgalīga citu skaitļu virkne, kurā nevar atšķirt periodiskus periodus. Tajā pašā laikā, lai gan skaitli π nevar precīzi izteikt, tam ir īpaša ģeometriskā nozīme. Skaitlis π ir jebkura apļa garuma attiecība pret tā diametra garumu. Tādējādi dabā pastāv neracionāli skaitļi, tāpat kā racionālie skaitļi.

Vēl viens iracionālu skaitļu piemērs ir pozitīvo skaitļu kvadrātsaknes. Sakņu iegūšana no dažiem skaitļiem dod racionālas vērtības, no citiem - iracionālas. Piemēram, √4 = 2, t.i., 4 sakne ir racionāls skaitlis. Bet √2, √5, √7 un daudzi citi rada neracionālus skaitļus, tas ir, tos var iegūt tikai ar tuvinājumu, noapaļojot līdz noteiktai zīmei aiz komata. Šajā gadījumā daļu iegūst neperiodiski. Tas ir, nav iespējams precīzi un noteikti pateikt, kas ir šo skaitļu sakne.

Tātad √5 ir skaitlis no 2 līdz 3, jo √4 = 2 un √9 = 3. Varam arī secināt, ka √5 ir tuvāk 2 nekā 3, jo √4 ir tuvāk √5 nekā √9 līdz 3. √5. Patiešām, √5 ≈ 2,23 vai √5 ≈ 2,24.

Iracionāli skaitļi tiek iegūti arī citos aprēķinos (un ne tikai izraujot saknes), tie ir negatīvi.

Attiecībā uz iracionāliem skaitļiem mēs varam teikt, ka neatkarīgi no tā, kādu vienības segmentu mēs ņemam, lai izmērītu ar šādu skaitli izteiktu garumu, mēs nevaram to noteikti izmērīt.

Aritmētiskajās darbībās iracionālie skaitļi var piedalīties kopā ar racionālajiem skaitļiem. Tajā pašā laikā pastāv vairākas likumsakarības. Piemēram, ja aritmētiskā darbībā ir iesaistīti tikai racionālie skaitļi, tad rezultāts vienmēr ir racionāls skaitlis. Ja operācijā piedalās tikai iracionālie, tad nevar viennozīmīgi pateikt, vai izrādīsies racionāls vai iracionāls skaitlis.

Piemēram, ja jūs reizinat divus neracionālus skaitļus √2 * √2, jūs iegūstat 2 - tas ir racionāls skaitlis. No otras puses, √2 * √3 = √6 ir iracionāls skaitlis.

Ja aritmētiskā darbība ietver racionālu un iracionālu skaitli, tad tiks iegūts iracionāls rezultāts. Piemēram, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17–4.

Kāpēc √17–4 ir neracionāls skaitlis? Iedomājieties, ka iegūstat racionālu skaitli x. Tad √17 = x + 4. Bet x + 4 ir racionāls skaitlis, jo mēs pieņēmām, ka x ir racionāls. Skaitlis 4 arī ir racionāls, tātad x + 4 ir racionāls. Tomēr racionāls skaitlis nevar būt vienāds ar iracionālo √17. Tāpēc pieņēmums, ka √17 - 4 dod racionālu rezultātu, ir nepareizs. Aritmētiskās darbības rezultāts būs neracionāls.

Tomēr šim noteikumam ir izņēmums. Ja iracionālu skaitli reizinām ar 0, iegūstam racionālu skaitli 0.
Mēs arī iesakām