선형 방정식 시스템은 mti인 경우 접합이라고 합니다. 선형 방정식 시스템에 대한 일반 및 특정 솔루션을 찾는 방법

우리는 계속해서 선형 방정식 시스템을 다룹니다. 지금까지 우리는 고유한 솔루션을 가진 시스템을 고려했습니다. 이러한 시스템은 다음과 같은 방법으로 해결할 수 있습니다. 대체 방법("학교") Cramer의 공식, 행렬 방법에 의해, 가우스 방법. 그러나 다음과 같은 두 가지 경우가 실제로 널리 퍼져 있습니다.

1) 시스템이 일관성이 없습니다(해법이 없음).

2) 시스템에는 무한히 많은 솔루션이 있습니다.

이러한 시스템의 경우 모든 솔루션 방법 중 가장 보편적인 방법이 사용됩니다. 가우스 방법. 사실 '학교' 방식도 답이 되겠지만, 고등 수학미지수를 연속적으로 제거하는 가우스 방법을 사용하는 것이 일반적입니다. 가우스법 알고리즘에 익숙하지 않은 분들은 강의를 먼저 공부하세요 가우스 방법

기본 행렬 변환 자체는 정확히 동일합니다., 차이점은 솔루션의 끝 부분에 있습니다. 먼저, 시스템에 솔루션이 없는(일관되지 않는) 몇 가지 예를 고려하십시오.

실시예 1

이 시스템에서 즉시 눈에 띄는 것은 무엇입니까? 방정식의 수가 변수의 수보다 적습니다. 다음과 같은 정리가 있습니다. "계의 방정식의 수가 적은 양변수, 그러면 시스템이 일관성이 없거나 솔루션이 무한히 많습니다.그리고 알아내는 것만 남아 있습니다.

솔루션의 시작은 매우 평범합니다. 시스템의 확장 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 단계 형식으로 가져옵니다.

(하나). 왼쪽 상단 단계에서 (+1) 또는 (-1)을 얻어야 합니다. 첫 번째 열에는 이러한 숫자가 없으므로 행을 다시 정렬해도 작동하지 않습니다. 단위는 독립적으로 구성되어야 하며 여러 가지 방법으로 수행할 수 있습니다. 우리는 그렇게 했다. 첫 번째 줄에 (-1)을 곱한 세 번째 줄을 추가합니다.

(2). 이제 첫 번째 열에 두 개의 0이 표시됩니다. 두 번째 줄에 첫 번째 줄에 3을 곱한 값을 추가합니다. 세 번째 줄에 첫 번째 줄에 5를 곱한 값을 추가합니다.

(삼). 변환이 완료된 후 결과 문자열을 단순화할 수 있는지 항상 확인하는 것이 좋습니다. 할 수있다. 두 번째 줄을 2로 나누고 동시에 두 번째 단계에서 원하는 줄(-1)을 얻습니다. 세 번째 줄을 (-3)으로 나눕니다.

(4). 세 번째 줄에 두 번째 줄을 추가합니다. 아마도 모든 사람들은 기본 변형의 결과로 밝혀진 나쁜 선에주의를 기울였습니다.

. 이것은 그렇게 될 수 없다는 것이 분명합니다.

실제로 결과 행렬을 다시 작성합니다.

선형 방정식 시스템으로 돌아가기:

기본 변환의 결과로 형식의 문자열인 경우 , 어디λ 0이 아닌 숫자이면 시스템이 일관성이 없습니다(해가 없음).

작업의 끝을 기록하는 방법? 다음 문구를 적어야 합니다.

"기본 변환의 결과로 형식의 문자열이 얻어집니다. 여기서 λ ≠ 0 ". 답변: "시스템에 솔루션이 없습니다(일관되지 않음)."

이 경우 가우스 알고리즘의 역방향 이동이 없고 솔루션도 없고 단순히 찾을 수 있는 것도 없습니다.

실시예 2

선형 연립방정식 풀기

이것은 DIY의 예입니다. 완벽한 솔루션그리고 수업이 끝날 때의 대답.

다시 말하지만, 솔루션 경로는 솔루션 경로와 다를 수 있으며, 가우스 방법은 명확한 알고리즘을 설정하지 않으며, 각 경우에 독립적으로 절차와 작업 자체를 추측해야 합니다.

하나 더 기술적 특징솔루션: 기본 변환을 중지할 수 있습니다. 즉시, 다음과 같은 줄이 나오자 마자 λ ≠ 0 . 고려하다 조건부 예: 첫 번째 변환 후에 행렬을 얻는다고 가정합니다.

이 행렬은 아직 계단식 형태로 축소되지 않았지만 형태의 선이 나타났으므로 더 이상의 기본 변환이 필요하지 않습니다. λ ≠ 0 . 시스템이 호환되지 않는다고 즉시 응답해야 합니다.

선형 방정식 시스템에 솔루션이 없는 경우, 짧은 솔루션이 때로는 말 그대로 2-3단계로 얻어지기 때문에 이것은 거의 학생에게 선물입니다. 그러나 이 세상의 모든 것은 균형을 이루고 있으며, 시스템이 무한히 많은 솔루션을 가지고 있는 문제는 더 길다.

예 3:

선형 연립방정식 풀기

4개의 방정식과 4개의 미지수가 있으므로 시스템은 단일 솔루션을 갖거나 솔루션이 없거나 무한히 많은 솔루션을 가질 수 있습니다. 그것이 무엇이든간에, 어쨌든 가우스 방법은 우리를 답으로 이끌 것입니다. 이것이 다양성입니다.

시작은 다시 표준입니다. 시스템의 확장 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 단계 형식으로 가져옵니다.

그게 다야, 그리고 당신은 두려워했습니다.

(하나). 첫 번째 열의 모든 숫자는 2로 나눌 수 있으므로 왼쪽 상단 횡선에 있는 2도 괜찮습니다. 두 번째 줄에 (-4)를 곱한 첫 번째 줄을 추가합니다. 세 번째 줄에 (-2)를 곱한 첫 번째 줄을 추가합니다. 네 번째 줄에 (-1)을 곱한 첫 번째 줄을 추가합니다.

주목!많은 사람들이 네 번째 줄에서 유혹을 받을 수 있습니다. 덜다첫 줄. 이것은 할 수 있지만 필수는 아닙니다. 경험에 따르면 계산 오류 확률이 여러 번 증가합니다. 우리는 다음을 추가합니다. 네 번째 줄에 첫 번째 줄을 추가하고 (-1)을 곱합니다. 바로 그거죠!

(2). 마지막 세 줄은 비례하며 그 중 두 줄은 삭제할 수 있습니다. 여기에 다시 표시해야합니다. 관심 증가, 하지만 선이 정말 비례합니까? 재보험의 경우 두 번째 행에 (-1)을 곱하고 네 번째 행을 2로 나누면 3개의 동일한 행이 생성됩니다. 그리고 그 후에야 두 개를 제거하십시오. 기본 변환의 결과로 시스템의 확장 행렬은 다음과 같이 계단식으로 축소됩니다.

공책으로 작업을 완료할 때 명확성을 위해 동일한 메모를 연필로 작성하는 것이 좋습니다.

해당 방정식 시스템을 다시 작성합니다.

시스템의 "일반적인" 유일한 솔루션은 여기에서 냄새가 나지 않습니다. 잘못된 라인 어디 λ ≠ 0, 또한 아니다. 따라서 이것은 세 번째로 남은 경우입니다. 시스템에는 무한히 많은 솔루션이 있습니다.

시스템의 무한한 솔루션 세트는 소위 형식으로 간략하게 작성됩니다. 일반 시스템 솔루션.

우리는 가우스 방법의 역 운동을 사용하여 시스템의 일반적인 솔루션을 찾을 것입니다. 무한 솔루션 세트가 있는 연립방정식의 경우 다음과 같은 새로운 개념이 나타납니다. "기본 변수"그리고 "자유 변수". 먼저, 우리가 가지고 있는 변수를 정의합시다 기초적인, 그리고 어떤 변수 - 무료. 선형 대수학의 용어를 자세히 설명할 필요는 없으며, 그러한 용어가 있음을 기억하는 것으로 충분합니다. 기저변수그리고 자유 변수.

기본 변수는 항상 행렬의 단계에 엄격하게 "앉아" 있습니다.. 이 예에서 기본 변수는 엑스 1 및 엑스 3 .

자유 변수가 전부입니다 남은단계를 얻지 못한 변수. 우리의 경우 두 가지가 있습니다. 엑스 2 및 엑스 4 - 자유 변수.

이제 당신이 필요합니다 모두기저변수표현하다 통해서만자유 변수. 가우스 알고리즘의 역방향 이동은 전통적으로 아래에서 위로 작동합니다. 시스템의 두 번째 방정식에서 기본 변수를 표현합니다. 엑스 3:

이제 첫 번째 방정식을 보십시오. . 먼저 찾은 표현식을 다음과 같이 대체합니다.

기본변수를 표현하는 일만 남았다 엑스 1을 통한 자유 변수 엑스 2 및 엑스 4:

결과는 당신이 필요로하는 것입니다 - 모두기초 변수( 엑스 1 및 엑스 3) 표현 통해서만자유 변수( 엑스 2 및 엑스 4):

실제로 일반적인 솔루션이 준비되었습니다.

일반적인 솔루션을 작성하는 방법? 우선, 자유 변수는 "자체적으로" 그리고 엄격하게 해당 위치에 일반 솔루션에 작성됩니다. 이 경우 자유 변수 엑스 2 및 엑스 4는 두 번째 및 네 번째 위치에 작성해야 합니다.

기본 변수에 대한 결과 표현식 그리고 분명히 첫 번째와 세 번째 위치에 작성해야 합니다.

시스템의 일반적인 솔루션에서 무한히 많은 것을 찾을 수 있습니다. 개인적인 결정. 아주 간단합니다. 자유 변수 엑스 2 및 엑스 4는 주어질 수 있기 때문에 그렇게 불린다. 모든 최종 값. 가장 인기 있는 값은 0 값입니다. 이것이 특정 솔루션을 얻는 가장 쉬운 방법이기 때문입니다.

대체( 엑스 2 = 0; 엑스 4 = 0) 일반 솔루션에 대한 특정 솔루션 중 하나를 얻습니다.

, 또는 값이 있는 자유 변수에 해당하는 특정 솔루션( 엑스 2 = 0; 엑스 4 = 0).

하나는 또 다른 달콤한 커플, 대체하자 ( 엑스 2 = 1 및 엑스 4 = 1) 일반 솔루션으로:

, 즉 (-1; 1; 1; 1)은 또 다른 특정 솔루션입니다.

연립방정식이 가지고 있음을 쉽게 알 수 있다. 무한히 많은 솔루션우리는 자유 변수를 줄 수 있기 때문에 어느가치.

각특정 솔루션은 다음을 충족해야 합니다. 각자에게시스템 방정식. 이것은 솔루션의 정확성에 대한 "빠른" 점검의 기초입니다. 예를 들어 특정 솔루션(-1; 1; 1; 1)을 가져와 원래 시스템의 각 방정식의 왼쪽에 대입합니다.

모든 것이 함께 해야 합니다. 그리고 특정 솔루션을 사용하면 모든 것이 수렴되어야 합니다.

엄밀히 말하면 특정 솔루션의 검증은 때때로 기만적입니다. 일부 특정 솔루션은 시스템의 각 방정식을 만족할 수 있으며 일반 솔루션 자체는 실제로 잘못 발견됩니다. 따라서 우선 일반 솔루션의 검증이 보다 철저하고 신뢰할 수 있습니다.

결과 일반 솔루션을 확인하는 방법 ?

어렵지는 않지만 꽤 긴 변형이 필요합니다. 우리는 표현을 취해야합니다 기초적인이 경우 변수 및 , 시스템의 각 방정식의 왼쪽에 대입합니다.

시스템의 첫 번째 방정식의 왼쪽에:

시스템의 원래 첫 번째 방정식의 오른쪽을 얻습니다.

시스템의 두 번째 방정식의 왼쪽에:

시스템의 원래 두 번째 방정식의 오른쪽이 얻어집니다.

그리고 더 나아가 - 시스템의 세 번째 및 네 번째 방정식의 왼쪽 부분. 이 검사는 더 길지만 전체 솔루션의 100% 정확성을 보장합니다. 또한 일부 작업에서는 일반적인 솔루션을 확인해야 합니다.

예 4:

가우스 방법을 사용하여 시스템을 풉니다. 일반적인 솔루션과 두 개의 개인 솔루션을 찾으십시오. 전체 솔루션을 확인하십시오.

이것은 DIY의 예입니다. 그런데 여기서 다시 방정식의 수는 미지수의 수보다 적습니다. 이는 시스템이 일관성이 없거나 무한한 수의 솔루션을 가질 것이라는 것이 즉시 분명하다는 것을 의미합니다.

예 5:

선형 연립방정식을 풉니다. 시스템에 무한히 많은 솔루션이 있는 경우 두 개의 특정 솔루션을 찾고 일반 솔루션을 확인하십시오.

해결책:시스템의 확장 행렬을 작성하고 기본 변환의 도움으로 계단식 형식으로 가져옵니다.

(하나). 첫 번째 줄을 두 번째 줄에 추가합니다. 세 번째 줄에 첫 번째 줄에 2를 곱한 값을 추가합니다. 네 번째 줄에 첫 번째 줄에 3을 곱한 값을 추가합니다.

(2). 세 번째 줄에 (-5)를 곱한 두 번째 줄을 추가합니다. 네 번째 줄에 (-7)을 곱한 두 번째 줄을 추가합니다.

(삼). 세 번째와 네 번째 줄은 동일하므로 그 중 하나를 삭제합니다. 다음은 그러한 아름다움입니다.

기본 변수는 계단에 있으므로 기본 변수입니다.

단계를 얻지 못한 자유 변수는 하나뿐입니다. .

(4). 역방향 이동. 우리는 자유 변수의 관점에서 기본 변수를 표현합니다:

세 번째 방정식에서:

두 번째 방정식을 고려하고 찾은 표현식을 다음과 같이 대체하십시오.

, , ,

첫 번째 방정식을 고려하고 발견된 표현식을 대입합니다.

따라서 하나의 자유 변수가 있는 일반 솔루션 엑스 4:

다시 한 번, 어떻게 된 일입니까? 자유 변수 엑스 4는 정당한 네 번째 자리에 혼자 앉아 있습니다. 기본 변수 , 에 대한 결과 표현식도 제자리에 있습니다.

일반 솔루션을 즉시 확인합시다.

시스템의 각 방정식의 왼쪽에 기본 변수 , 를 대입합니다.

방정식의 대응하는 우변이 얻어지고, 따라서 올바른 일반 솔루션이 발견됩니다.

이제 찾은 일반 솔루션에서 우리는 두 가지 특정 솔루션을 얻습니다. 모든 변수는 여기에서 단일 자유 변수 x 4 . 머리를 부수지 않아도 됩니다.

하자 엑스 4 = 0, 그러면 첫 번째 특정 솔루션입니다.

하자 엑스 4 = 1, 그러면 또 다른 특정 솔루션입니다.

답변:일반적인 결정: . 개인 솔루션:

그리고 .

예 6:

선형 연립방정식의 일반 해를 구합니다.

우리는 이미 일반적인 솔루션을 확인했으며 답변을 신뢰할 수 있습니다. 귀하의 행동 방침은 당사의 행동 방침과 다를 수 있습니다. 가장 중요한 것은 일반적인 솔루션이 일치한다는 것입니다. 아마도 많은 사람들이 솔루션에서 불쾌한 순간을 알아차렸을 것입니다. 매우 자주 가우스 방법의 역 과정에서 일반 분수. 실제로 이것은 사실이며 분수가 없는 경우는 훨씬 덜 일반적입니다. 정신적으로, 그리고 가장 중요하게는 기술적으로 준비하십시오.

해결된 예에서 발견되지 않은 솔루션의 기능에 대해 살펴보겠습니다. 시스템의 일반적인 솔루션은 때때로 상수(또는 상수)를 포함할 수 있습니다.

예를 들어, 일반적인 솔루션: . 여기에서 기본 변수 중 하나는 상수와 같습니다: . 여기에는 이국적인 것이 없습니다. 분명히 이 경우 특정 솔루션의 첫 번째 위치에 5가 포함됩니다.

드물지만 다음과 같은 시스템이 있습니다. 방정식의 수가 변수의 수보다 큽니다.. 그러나 가우스 방법은 가장 가혹한 조건에서 작동합니다. 표준 알고리즘에 따라 시스템의 확장 행렬을 계단식으로 침착하게 가져와야 합니다. 그러한 시스템은 일관성이 없을 수 있고, 무한히 많은 솔루션을 가질 수 있으며, 이상하게도 고유한 솔루션을 가질 수 있습니다.

우리는 조언을 반복합니다. 가우스 방법을 사용하여 시스템을 해결할 때 편안함을 느끼려면 손을 채우고 적어도 12개의 시스템을 풀어야 합니다.

솔루션 및 답변:

예 2:

해결책:시스템의 확장 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 계단 형태로 가져오도록 합시다.

수행된 기본 변환:

(1) 첫 번째 줄과 세 번째 줄이 바뀌었습니다.

(2) 첫 번째 줄을 두 번째 줄에 더하고 (-6)을 곱합니다. 첫 번째 줄은 세 번째 줄에 추가되고 (-7)이 곱해집니다.

(3) 세 번째 줄에 두 번째 줄을 더하고 (-1)을 곱합니다.

기본 변환의 결과로 다음 형식의 문자열, 어디 λ ≠ 0 .따라서 시스템이 일관성이 없습니다.답변: 해결책이 없습니다.

예 4:

해결책:시스템의 확장 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 단계 형식으로 가져옵니다.

수행된 전환:

(하나). 첫 번째 줄에 2를 곱한 값을 두 번째 줄에 더하고 첫 번째 줄에 3을 곱한 값을 세 번째 줄에 더했습니다.

두 번째 단계에는 단위가 없습니다. , 그리고 변환(2)은 그것을 얻는 것을 목표로 한다.

(2). 두 번째 줄은 -3을 곱한 세 번째 줄에 추가되었습니다.

(삼). 두 번째 및 세 번째 행이 바뀌었습니다(결과 -1이 두 번째 단계로 이동됨)

(4). 세 번째 줄에 두 번째 줄을 더하고 3을 곱했습니다.

(다섯). 처음 두 줄의 부호가 변경되었고(-1 곱하기) 세 번째 줄은 14로 나눴습니다.

역방향 이동:

(하나). 여기 (단계에 있는) 기본 변수이고, (단계를 얻지 못한) 자유 변수입니다.

(2). 기본 변수를 자유 변수로 표현합니다.

세 번째 방정식에서: .

(삼). 두 번째 방정식을 고려하십시오., 특정 솔루션:

답변: 일반적인 결정:

복소수

이 섹션에서는 개념을 소개합니다. 복소수, 고려하다 대수적, 삼각법그리고 형태를 보여주다복소수. 또한 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기, 지수 및 근 추출과 같은 복소수 연산을 수행하는 방법도 배웁니다.

복소수를 마스터하기 위해 고등 수학 과정에서 특별한 지식이 필요하지 않으며 자료는 초등학생도 사용할 수 있습니다. "보통" 숫자로 대수 연산을 수행하고 삼각법을 기억하는 것으로 충분합니다.

먼저 "보통" 숫자를 기억합시다. 수학에서 그들은 많은 실수 그리고 문자로 표시되어 있습니다 아르 자형,또는 R(두꺼움). 모든 실수는 친숙한 숫자 라인에 있습니다.

실수의 회사는 매우 다채 롭습니다. 여기에 정수와 분수가 있습니다. 무리수. 이 경우 수치축의 각 점은 반드시 어떤 실수에 해당한다.

시스템 중선형 방정식 N알려지지 않은.
선형 연립방정식 풀기그런 숫자의 집합입니다( x 1 , x 2 , … , x n), 시스템의 각 방정식에 어느 것을 대입하면 정확한 평등이 얻어집니다.
어디 a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n시스템의 계수입니다.
나는 나, 나는 = 1, …, m- 무료 회원
x j , j = 1, …, n- 알려지지 않은.
위의 시스템은 행렬 형식으로 작성할 수 있습니다. A X = B,

어디 ( ㅏ|비) 시스템의 주요 매트릭스입니다.
ㅏ- 시스템의 확장 매트릭스;
엑스- 미지수 열
비무료 회원의 열입니다.
만약 매트릭스 비가 영행렬 ∅이 아닌 경우 이 선형 방정식 시스템을 비균질이라고 합니다.
만약 매트릭스 비= ∅이면 이 선형 방정식 시스템을 동차라고 합니다. 동종 시스템에는 항상 0(사소한) 솔루션이 있습니다. x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
선형 연립방정식솔루션이 있는 선형 방정식 시스템입니다.
일관되지 않은 선형 방정식 시스템해가 없는 선형 방정식 시스템입니다.
특정 선형 방정식 시스템는 고유한 솔루션을 가진 선형 방정식 시스템입니다.
부정한 선형 방정식 시스템무한한 수의 솔루션이 있는 선형 방정식 시스템입니다.
n개의 미지수가 있는 n개의 선형 방정식 시스템
미지수의 수가 방정식의 수와 같으면 행렬은 제곱입니다. 행렬 행렬식은 선형 방정식 시스템의 주요 행렬식이라고 하며 기호 Δ로 표시됩니다.
크래머 방식시스템 해결을 위해 N선형 방정식 N알려지지 않은.
크래머의 법칙.
선형 방정식 시스템의 주요 결정 요인이 아닌 경우 영, 시스템은 일관되고 정의되며 고유 솔루션은 Cramer 공식에 의해 계산됩니다.
여기서 Δ i는 다음을 대체하여 시스템 Δ의 주요 행렬식에서 얻은 행렬식입니다. 나무료 회원의 열에 th 열. .
n개의 미지수가 있는 m개의 선형 방정식 시스템
크로네커-카펠리 정리.

이 선형 방정식 시스템이 일관성을 갖기 위해서는 시스템의 행렬의 순위가 시스템의 확장된 행렬의 순위와 같아야 하고 충분합니다. 순위(Α) = 순위(Α|B).
만약에 랑(Α) ≠ 랑(Α|B), 그러면 시스템에는 분명히 솔루션이 없습니다.
만약에 순위(Α) = 순위(Α|B), 다음 두 가지 경우가 가능합니다.
1) 범위(Α) = n(알 수 없는 수까지) - 솔루션은 고유하며 Cramer의 공식으로 얻을 수 있습니다.
2) 순위(Α)< n - 솔루션이 무한히 많습니다.
가우스 방법선형 방정식의 시스템을 풀기 위해

증강 행렬( ㅏ|비) 미지 및 우변에서 주어진 계수 시스템.
가우스 방법 또는 미지수 제거 방법은 증가된 행렬을 줄이는 것으로 구성됩니다( ㅏ|비) 행에 대한 기본 변환의 도움으로 대각선 형태(위쪽 삼각형 형태)로. 방정식 시스템으로 돌아가면 모든 미지수가 결정됩니다.
문자열에 대한 기본 변환에는 다음이 포함됩니다.
1) 두 줄 바꾸기
2) 문자열에 0이 아닌 숫자를 곱하는 것;
3) 문자열에 임의의 숫자를 곱한 다른 문자열을 추가합니다.
4) null 문자열을 버립니다.
대각 형태로 축소된 확장 행렬은 주어진 것과 동일한 선형 시스템에 해당하며, 그 솔루션은 문제를 일으키지 않습니다. .
균질 선형 방정식 시스템.
균질 시스템의 형식은 다음과 같습니다.

행렬 방정식에 해당합니다. X = 0.
1) 균질한 시스템은 항상 일관성이 있습니다. r(A) = r(A|B), 항상 0 솔루션(0, 0, …, 0)이 있습니다.
2) 균질 시스템이 0이 아닌 해를 가지려면 다음이 필요하고 충분합니다. r = r(A)< n , 이는 Δ = 0과 동일합니다.
3) 만약 아르 자형< n , Δ = 0이면 자유 미지수가 있습니다. c 1 , c 2 , … , c n-r, 시스템에는 사소하지 않은 솔루션이 있으며 무한히 많습니다.
4) 일반 솔루션 엑스~에 아르 자형< n 다음과 같이 행렬 형식으로 작성할 수 있습니다.
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
솔루션은 어디에 있습니까 X 1 , X 2 , … , X n-r근본적인 해결책 체계를 형성합니다.
5) 해의 기본 시스템은 균질 시스템의 일반 솔루션에서 얻을 수 있습니다.

,
매개변수의 값을 (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1)이라고 순차적으로 가정하면.
솔루션의 기본 시스템 측면에서 일반 솔루션의 분해기본 시스템에 속하는 솔루션의 선형 조합으로 일반 솔루션의 레코드입니다.
정리. 선형 동차 방정식 시스템이 0이 아닌 해를 가지려면 Δ ≠ 0이 필요하고 충분합니다.
따라서 행렬식이 Δ ≠ 0이면 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다.
Δ ≠ 0이면 선형 동차 방정식 시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다.
정리. 동질 시스템이 0이 아닌 해를 가지려면 다음이 필요하고 충분합니다. r(A)< n .
증거:
1) 아르 자형더 할 수 없다 N(행렬 순위는 열 또는 행의 수를 초과하지 않습니다);
2) 아르 자형< n , 왜냐하면 만약 r=n, 시스템 Δ ≠ 0의 주요 결정 요인이며 Cramer의 공식에 따르면 고유한 사소한 솔루션이 있습니다. x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, 이는 조건과 모순됩니다. 수단, r(A)< n .
결과. 균일한 시스템을 위해 N선형 방정식 N미지수의 해가 0이 아닌 경우 Δ = 0이면 충분합니다.

서비스 할당. 온라인 계산기는 선형 방정식 시스템을 연구하도록 설계되었습니다. 일반적으로 문제의 상태에서 찾을 필요가 있습니다. 시스템의 일반 및 특정 솔루션. 선형 방정식 시스템을 연구할 때 다음 문제가 해결됩니다.

시스템이 협력적인지 여부;
시스템이 일관적이면 확정적이거나 무기한입니다(시스템 호환성의 기준은 정리에 의해 결정됨).
시스템이 정의된 경우 고유 솔루션을 찾는 방법(Cramer 방법, 역행렬 방법 또는 Jordan-Gauss 방법이 사용됨);
시스템이 무한한 경우 솔루션 세트를 설명하는 방법.

선형 방정식 시스템의 분류

임의의 선형 방정식 시스템의 형식은 다음과 같습니다.
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
오전 1 x 1 + 오전 2 x 2 + ... + 오전 n x n = b m

선형 비균일 방정식 시스템(변수의 수는 방정식의 수와 동일, m = n).
선형 비균일 방정식의 임의 시스템(m > n 또는 m< n).

정의. 시스템의 솔루션은 숫자 c 1 ,c 2 ,...,c n 의 집합으로, 해당 미지수 대신 시스템으로 대입하면 시스템의 각 방정식이 항등식으로 바뀝니다.

정의. 첫 번째에 대한 솔루션이 두 번째에 대한 솔루션이고 그 반대의 경우도 두 시스템이 동등하다고 합니다.

정의. 적어도 하나의 솔루션이 있는 시스템을 관절. 솔루션이 없는 시스템을 일관성 없는 시스템이라고 합니다.

정의. 독특한 솔루션을 가진 시스템을 확실한, 둘 이상의 솔루션을 갖는 것은 무기한입니다.

선형 방정식 시스템을 풀기 위한 알고리즘

주행렬과 확장행렬의 순위를 구합니다. 그것들이 같지 않으면 Kronecker-Capelli 정리에 의해 시스템이 일관성이 없으며 여기에서 연구가 끝납니다.
rank(A) = rank(B) 라고 합니다. 우리는 기본 부전공을 선택합니다. 이 경우 모든 미지의 선형 방정식 시스템은 두 가지 클래스로 나뉩니다. 계수가 기본단조에 포함되어 있는 미지수를 종속이라 하고, 계수가 기본단조에 포함되지 않은 미지수를 자유라고 한다. 종속 및 자유 미지수의 선택이 항상 고유한 것은 아닙니다.
계수가 기본 마이너에 포함되지 않은 시스템의 방정식은 나머지의 결과이기 때문에 (기본 마이너 정리에 따라) 삭제됩니다.
자유 미지수를 포함하는 방정식의 항은 오른쪽으로 옮겨집니다. 결과적으로, 우리는 r개의 미지수가 있는 r개의 방정식 시스템을 얻습니다.
결과 시스템은 Cramer 방법, 역행렬 방법 또는 Jordan-Gauss 방법 중 하나로 해결됩니다. 종속 변수를 자유 변수로 표현하는 관계가 발견됩니다.

n개의 미지수가 있는 m개의 선형 방정식 시스템형식의 시스템이라고 함

어디 아이즈그리고 나 (나=1,…,중; 비=1,…,N)는 몇 가지 알려진 숫자이며, x 1 ,..., x n- 알려지지 않은. 계수 표기법에서 아이즈첫 번째 인덱스 나는 방정식의 수를 나타내고 두 번째 제이이 계수가 있는 미지수의 수입니다.

미지수에 대한 계수는 행렬 형식으로 작성됩니다. , 우리가 부를 시스템 매트릭스.

방정식의 오른쪽에 있는 숫자 b 1 ,… ,b m~라고 불리는 무료 회원.

골재 N숫자 c 1 ,… ,c n~라고 불리는 결정이 시스템의 각 방정식이 숫자를 대입한 후 평등이 되면 c 1 ,… ,c n상응하는 미지수 대신 x 1 ,..., x n.

우리의 임무는 시스템에 대한 솔루션을 찾는 것입니다. 이 경우 세 가지 상황이 발생할 수 있습니다.

하나 이상의 해를 갖는 선형 방정식 시스템을 관절. 그렇지 않으면, 즉 시스템에 솔루션이 없으면 호출됩니다. 호환되지 않는.

시스템에 대한 솔루션을 찾는 방법을 고려하십시오.

선형 방정식의 시스템을 풀기 위한 행렬 방법

행렬을 사용하면 선형 방정식 시스템을 간략하게 작성할 수 있습니다. 3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템이 주어집니다.

시스템의 행렬을 고려하십시오. 알 수 없는 멤버와 비어 있는 멤버의 행렬 열

제품을 찾아보자

저것들. 곱의 결과로 이 시스템의 방정식의 좌변을 얻습니다. 그런 다음 행렬 평등의 정의를 사용하여 이 시스템형태로 쓸 수 있다

또는 더 짧은 ㅏ∙X=B.

여기 행렬 ㅏ그리고 비알려져 있으며 매트릭스 엑스알려지지 않은. 그녀를 찾아야 합니다. 왜냐하면 그 요소가 이 시스템의 솔루션입니다. 이 방정식은 행렬 방정식.

행렬 행렬식을 0과 다르게 합시다 | ㅏ| ≠ 0. 그러면 행렬 방정식은 다음과 같이 풀립니다. 왼쪽 방정식의 양변에 행렬을 곱합니다. A-1, 행렬의 역행렬 ㅏ: . 하는 한 A -1 A = E그리고 이자형∙X=X, 다음 형식의 행렬 방정식의 해를 얻습니다. X = A -1 B .

역행렬은 정방행렬에서만 찾을 수 있으므로 행렬 방법은 다음과 같은 시스템만 풀 수 있습니다. 방정식의 수는 미지수의 수와 같습니다.. 그러나 방정식의 수가 미지수의 수와 같지 않은 경우 시스템의 행렬 표기법도 가능합니다. ㅏ는 정사각형이 아니므로 다음 형식으로 시스템에 대한 솔루션을 찾는 것이 불가능합니다. X = A -1 B.

예.연립방정식을 풉니다.

크래머의 법칙

3개의 미지수가 있는 3개의 선형 방정식 시스템을 고려하십시오.

시스템의 행렬에 해당하는 3차 행렬식, 즉 미지수의 계수로 구성,

~라고 불리는 시스템 결정자.

다음과 같이 3개의 행렬식을 더 구성합니다. 행렬식 D의 1, 2 및 3개의 열을 자유 멤버 열로 연속적으로 교체합니다.

그러면 다음 결과를 증명할 수 있습니다.

정리(Cramer의 법칙).시스템의 행렬식이 Δ ≠ 0이면 고려 중인 시스템에는 하나의 해가 있으며,

증거. 따라서 3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템을 고려하십시오. 시스템의 첫 번째 방정식에 대수 보수를 곱합니다. 11요소 11, 두 번째 방정식 - 켜기 A21그리고 3번째에 31:

다음 방정식을 추가해 보겠습니다.

이 방정식의 각 대괄호와 우변을 고려하십시오. 첫 번째 열의 요소에 대한 행렬식의 확장에 대한 정리에 의해

유사하게 와 가 임을 나타낼 수 있다.

마지막으로 쉽게 볼 수 있는

따라서 우리는 평등을 얻습니다. .

결과적으로 .

등식 및 유사하게 도출되며, 여기서 정리의 주장이 뒤따릅니다.

따라서 시스템의 행렬식이 Δ ≠ 0이면 시스템에 고유한 솔루션이 있고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 시스템의 행렬식이 0과 같으면 시스템에는 솔루션의 무한 세트가 있거나 솔루션이 없습니다. 호환되지 않습니다.

예.연립방정식 풀기

가우스 방법

이전에 고려한 방법은 방정식의 수가 미지수의 수와 일치하고 시스템의 행렬식이 0과 달라야 하는 시스템만 푸는 데 사용할 수 있습니다. 가우시안 방법은 보다 보편적이며 방정식이 많은 시스템에 적합합니다. 그것은 시스템의 방정식에서 미지수를 연속적으로 제거하는 것으로 구성됩니다.

3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템을 다시 고려하십시오.

우리는 첫 번째 방정식을 변경하지 않고 그대로 두고 두 번째와 세 번째에서 다음을 포함하는 항을 제외합니다. x 1. 이를 위해 두 번째 방정식을 다음과 같이 나눕니다. 하지만 21을 곱하고 - 하지만 11 그리고 첫 번째 방정식으로 더합니다. 유사하게, 우리는 세 번째 방정식을 다음과 같이 나눕니다. 하지만 31을 곱하고 - 하지만 11 그런 다음 첫 번째 항목에 추가하십시오. 결과적으로 원래 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

이제 마지막 방정식에서 다음을 포함하는 항을 제거합니다. x2. 이렇게 하려면 세 번째 방정식을 로 나누고 곱하고 두 번째 방정식에 더합니다. 그러면 다음과 같은 방정식 시스템이 생깁니다.

따라서 마지막 방정식에서 쉽게 찾을 수 있습니다. x 3, 다음 두 번째 방정식에서 x2그리고 드디어 1화부터 x 1.

가우스 방법을 사용할 때 필요한 경우 방정식을 바꿀 수 있습니다.

종종 쓰는 대신 새로운 시스템방정식은 시스템의 확장 행렬을 작성하는 것으로 제한됩니다.

그런 다음 기본 변환을 사용하여 삼각형 또는 대각선 형태로 가져옵니다.

에게 기본 변환행렬에는 다음 변환이 포함됩니다.

행 또는 열의 순열;
문자열에 0이 아닌 숫자를 곱하는 것;
한 줄에 다른 줄을 추가합니다.

예:가우스 방법을 사용하여 연립방정식을 풉니다.

따라서 시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다.

방정식 시스템은 다양한 프로세스의 수학적 모델링에서 경제 산업에서 널리 사용됩니다. 예를 들어, 생산 관리 및 계획, 물류 경로(운송 문제) 또는 장비 배치 문제를 해결할 때.

방정식 시스템은 수학 분야뿐만 아니라 물리학, 화학 및 생물학에서도 인구 규모를 찾는 문제를 해결할 때 사용됩니다.

선형 방정식 시스템은 공통 솔루션을 찾는 데 필요한 여러 변수가 있는 둘 이상의 방정식에 대한 용어입니다. 모든 방정식이 참 평등이 되거나 수열이 존재하지 않음을 증명하는 수열.

일차 방정식

ax+by=c 형식의 방정식을 선형이라고 합니다. 지정 x, y는 미지수이며, 그 값을 찾아야 하며, b는 변수의 계수이고, c는 방정식의 자유 항입니다.
그래프를 그려서 방정식을 풀면 모든 점이 다항식의 해인 직선처럼 보일 것입니다.

선형 방정식 시스템의 유형

가장 간단한 것은 두 개의 변수 X와 Y가 있는 선형 방정식 시스템의 예입니다.

F1(x, y) = 0 및 F2(x, y) = 0, 여기서 F1,2는 함수이고 (x, y)는 함수 변수입니다.

연립방정식 풀기 - 그것은 시스템이 진정한 평등으로 바뀌는 값 (x, y)을 찾거나 다음을 확립하는 것을 의미합니다 적절한 값 x와 y는 존재하지 않습니다.

점 좌표로 작성된 한 쌍의 값(x, y)을 선형 방정식 시스템의 솔루션이라고 합니다.

시스템에 하나의 공통 솔루션이 있거나 솔루션이 없는 경우 동등하다고 합니다.

선형 방정식의 동차 시스템은 우변이 0인 시스템입니다. "등호" 기호 뒤의 오른쪽 부분에 값이 있거나 함수로 표현되는 경우 이러한 시스템은 동질적이지 않습니다.

변수의 수는 2보다 훨씬 많을 수 있습니다. 그런 다음 3개 이상의 변수가 있는 선형 방정식 시스템의 예에 대해 이야기해야 합니다.

시스템에 직면하여 학생들은 방정식의 수와 미지수의 수가 반드시 일치해야 한다고 가정하지만, 그렇지 않습니다. 시스템의 방정식 수는 변수에 의존하지 않으며 임의로 많은 수가 있을 수 있습니다.

연립방정식을 푸는 간단하고 복잡한 방법

이러한 시스템을 해결하는 일반적인 분석 방법은 없으며 모든 방법은 수치 솔루션을 기반으로 합니다. 수학의 학교 과정은 순열, 대수 덧셈, 대입뿐만 아니라 그래픽 및 행렬 방법, 가우스 방법에 의한 솔루션과 같은 방법을 자세히 설명합니다.

해결 방법을 가르치는 주요 임무는 시스템을 올바르게 분석하고 찾는 방법을 가르치는 것입니다. 최적의 알고리즘각 예에 대한 솔루션. 가장 중요한 것은 각 방법에 대한 규칙과 행동 체계를 암기하는 것이 아니라 특정 방법을 적용하는 원리를 이해하는 것입니다.

프로그램의 7 번째 클래스의 선형 방정식 시스템의 예제 해결 중고등 학교아주 간단하고 아주 자세하게 설명되어 있습니다. 모든 수학 교과서에서 이 부분은 충분히 주의를 기울입니다. Gauss 및 Cramer 방법에 의한 선형 방정식 시스템의 예에 대한 솔루션은 고등 교육 기관의 첫 번째 과정에서 더 자세히 연구됩니다.

대체 방법에 의한 시스템의 솔루션

대체 방법의 동작은 한 변수의 값을 두 번째 변수를 통해 표현하는 것을 목표로 합니다. 식은 나머지 방정식에 대입된 다음 단일 변수 형태로 축소됩니다. 시스템의 미지수 개수에 따라 동작이 반복됩니다.

대체 방법에 의한 7급 선형 방정식 시스템의 예를 들어 보겠습니다.

예에서 알 수 있듯이 변수 x는 F(X) = 7 + Y로 표현되었습니다. 결과 표현식은 X 대신 시스템의 두 번째 방정식에 대입되어 두 번째 방정식에서 하나의 변수 Y를 얻는 데 도움이 되었습니다. . 이 예제의 솔루션은 어려움을 일으키지 않으며 Y 값을 얻을 수 있습니다.마지막 단계는 얻은 값을 확인하는 것입니다.

선형 방정식 시스템의 예를 대입으로 푸는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 방정식은 복잡할 수 있으며 두 번째 미지수에 대한 변수의 표현은 추가 계산을 위해 너무 복잡할 것입니다. 시스템에 3개 이상의 미지수가 있는 경우 대체 솔루션도 비실용적입니다.

선형 불균일 방정식 시스템의 예에 대한 솔루션:

대수 덧셈을 사용한 해

덧셈법, 항별 덧셈과 방정식의 곱셈으로 시스템에 대한 해를 구할 때 다양한 숫자. 수학 연산의 궁극적인 목표는 변수가 하나인 방정식입니다.

이 방법을 적용하려면 연습과 관찰이 필요합니다. 변수의 개수가 3개 이상인 덧셈법을 사용하여 선형 연립방정식을 푸는 것은 쉽지 않습니다. 대수 덧셈은 방정식에 분수와 소수가 포함될 때 유용합니다.

솔루션 작업 알고리즘:

방정식의 양변에 어떤 숫자를 곱하십시오. 결과적으로 산술 연산변수의 계수 중 하나는 1과 같아야 합니다.
결과 표현식 용어를 용어별로 추가하고 미지수 중 하나를 찾으십시오.
결과 값을 시스템의 두 번째 방정식에 대입하여 나머지 변수를 찾습니다.

새로운 변수를 도입하여 해결 방법

시스템이 2개 이하의 방정식에 대한 솔루션을 찾아야 하는 경우 새 변수를 도입할 수 있으며 미지수도 2개 이하이어야 합니다.

이 방법은 새로운 변수를 도입하여 방정식 중 하나를 단순화하는 데 사용됩니다. 입력된 미지수에 대해 새 방정식을 풀고 결과 값을 사용하여 원래 변수를 결정합니다.

예는 새로운 변수 t를 도입함으로써 시스템의 첫 번째 방정식을 표준으로 줄일 수 있음을 보여줍니다. 제곱 삼항. 판별식을 찾아 다항식을 풀 수 있습니다.

다음과 같이 판별식의 값을 찾아야 합니다. 잘 알려진 공식: D = b2 - 4*a*c, 여기서 D는 원하는 판별식, b, a, c는 다항식의 승수입니다. 주어진 예에서 a=1, b=16, c=39, 따라서 D=100입니다. 판별식이 0보다 크면 두 가지 해가 있습니다. t = -b±√D / 2*a, 판별식이 0보다 작으면 x= -b / 2*a의 해가 하나만 있습니다.

결과 시스템에 대한 솔루션은 추가 방법으로 찾을 수 있습니다.

시스템 해결을 위한 시각적 방법

3개의 방정식이 있는 시스템에 적합합니다. 이 방법은 좌표축에 시스템에 포함된 각 방정식의 그래프를 그리는 것으로 구성됩니다. 곡선의 교차점 좌표는 시스템의 일반적인 솔루션이 될 것입니다.

그래픽 방식에는 여러 가지 뉘앙스가 있습니다. 시각적인 방법으로 선형 방정식 시스템을 푸는 몇 가지 예를 고려하십시오.

예에서 볼 수 있듯이 각 라인에 대해 두 개의 점이 구성되었으며 변수 x의 값은 0과 3으로 임의로 선택되었습니다. x 값을 기반으로 y 값을 찾았습니다. 3 및 0. 좌표가 (0, 3) 및 (3, 0)인 점을 그래프에 표시하고 선으로 연결했습니다.

두 번째 방정식에 대해 단계를 반복해야 합니다. 선의 교차점이 시스템의 솔루션입니다.

다음 예에서는 선형 방정식 시스템에 대한 그래픽 솔루션을 찾아야 합니다: 0.5x-y+2=0 및 0.5x-y-1=0.

예제에서 볼 수 있듯이 그래프가 평행하고 전체 길이를 따라 교차하지 않기 때문에 시스템에는 솔루션이 없습니다.

예제 2와 3의 시스템은 유사하지만 구성할 때 솔루션이 다르다는 것이 분명해집니다. 시스템에 솔루션이 있는지 여부를 항상 말할 수 있는 것은 아니며 항상 그래프를 작성해야 한다는 점을 기억해야 합니다.

매트릭스와 그 종류

행렬은 선형 방정식 시스템을 간략하게 작성하는 데 사용됩니다. 행렬은 숫자로 채워진 특별한 유형의 테이블입니다. n*m에는 n - 행과 m - 열이 있습니다.

행렬은 열과 행의 수가 같을 때 정사각형입니다. 행렬 벡터는 무한히 가능한 행 수가 있는 단일 열 행렬입니다. 대각선 중 하나와 다른 0 요소를 따라 단위가 있는 행렬을 항등이라고 합니다.

역행렬은 그러한 행렬이며, 곱하면 원래 행렬이 단위 1로 바뀌며, 그러한 행렬은 원래 정사각형에 대해서만 존재합니다.

연립방정식을 행렬로 변환하는 규칙

방정식 시스템과 관련하여 방정식의 계수 및 자유 구성원은 행렬의 숫자로 작성되며 하나의 방정식은 행렬의 한 행입니다.

행의 하나 이상의 요소가 0이 아닌 경우 행렬 행을 0이 아닌 행이라고 합니다. 따라서 방정식에서 변수의 수가 다른 경우 누락된 미지수 대신 0을 입력해야 합니다.

행렬의 열은 변수와 엄격하게 일치해야 합니다. 이것은 변수 x의 계수가 하나의 열에만 쓸 수 있음을 의미합니다. 예를 들어 첫 번째 열은 알려지지 않은 y의 계수인 두 번째 열에만 쓸 수 있습니다.

행렬을 곱할 때 모든 행렬 요소에 숫자를 순차적으로 곱합니다.

역행렬을 찾기 위한 옵션

역행렬을 찾는 공식은 매우 간단합니다. K -1 = 1 / |K|, 여기서 K -1은 역행렬이고 |K| - 행렬 행렬식. |케이| 0이 아니어야 시스템에 솔루션이 있습니다.

행렬식은 2x2 행렬에 대해 쉽게 계산되며 요소를 서로 대각선으로 곱하기만 하면 됩니다. "3 x 3" 옵션의 경우 공식 |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c가 있습니다. 3 + a 3 b 2 c 1 . 공식을 사용할 수도 있고, 제품에서 요소의 열과 행 번호가 반복되지 않도록 각 행과 각 열에서 하나의 요소를 가져와야 한다는 것을 기억할 수 있습니다.

행렬 방법에 의한 선형 방정식 시스템의 예 솔루션

솔루션을 찾는 행렬 방법을 사용하면 다음을 사용하여 시스템을 풀 때 번거로운 표기법을 줄일 수 있습니다. 큰 금액변수와 방정식.

예에서, nm는 방정식의 계수, 행렬은 벡터 x n은 변수, b n은 자유항입니다.

가우스 방법에 의한 시스템의 솔루션

고등수학에서는 가우스법을 크래머법과 함께 연구하며, 계에 대한 해를 찾는 과정을 가우스-크라머법이라고 한다. 이 방법은 선형 방정식이 많은 시스템의 변수를 찾는 데 사용됩니다.

가우스 방법은 대체 및 대수 덧셈 솔루션과 매우 유사하지만 더 체계적입니다. 학교 과정에서 가우스 솔루션은 3 및 4 방정식 시스템에 사용됩니다. 이 방법의 목적은 시스템을 역 사다리꼴 형태로 만드는 것입니다. 대수 변환 및 대체에 의해 한 변수의 값은 시스템의 방정식 중 하나에서 발견됩니다. 두 번째 방정식은 2개의 미지수와 3 및 4 - 각각 3 및 4개의 변수가 있는 표현식입니다.

시스템을 설명된 형식으로 가져온 후 추가 솔루션은 알려진 변수를 시스템 방정식으로 순차적으로 대체하는 것으로 축소됩니다.

7학년 교과서에서 가우스 솔루션의 예는 다음과 같이 설명됩니다.