Il teorema di Pitagora è diretto. Diversi modi per dimostrare il teorema di Pitagora

Il potenziale per la creatività è solitamente attribuito alle discipline umanistiche, lasciando la naturale analisi scientifica, l'approccio pratico e il linguaggio asciutto di formule e numeri. La matematica non può essere classificata come materia umanistica. Ma senza la creatività nella "regina di tutte le scienze" non andrai lontano: le persone lo sanno da molto tempo. Dai tempi di Pitagora, per esempio.

I libri di testo scolastici, purtroppo, di solito non spiegano che in matematica è importante non solo stipare teoremi, assiomi e formule. È importante comprenderne e sentirne i principi fondamentali. E allo stesso tempo, cerca di liberare la tua mente dai cliché e dalle verità elementari: solo in tali condizioni nascono tutte le grandi scoperte.

Tali scoperte includono quella che oggi conosciamo come il teorema di Pitagora. Con il suo aiuto, cercheremo di dimostrare che la matematica non solo può, ma dovrebbe essere divertente. E che questa avventura è adatta non solo ai nerd con gli occhiali spessi, ma a tutti coloro che sono forti di mente e forti di spirito.

Dalla storia della questione

A rigor di termini, sebbene il teorema sia chiamato "teorema di Pitagora", lo stesso Pitagora non lo scoprì. Il triangolo rettangolo e le sue proprietà speciali sono state studiate molto prima di esso. Ci sono due punti di vista polari su questo tema. Secondo una versione, Pitagora fu il primo a trovare una dimostrazione completa del teorema. Secondo un altro, la prova non appartiene alla paternità di Pitagora.

Oggi non puoi più controllare chi ha ragione e chi ha torto. Si sa solo che la prova di Pitagora, se mai è esistita, non è sopravvissuta. Tuttavia, ci sono suggerimenti che la famosa dimostrazione degli Elementi di Euclide possa appartenere a Pitagora, ed Euclide l'ha solo registrata.

È anche noto oggi che i problemi relativi a un triangolo rettangolo si trovano in fonti egiziane dal tempo del faraone Amenemhet I, su tavolette di argilla babilonesi del regno del re Hammurabi, nell'antico trattato indiano Sulva Sutra e nell'antica opera cinese Zhou -bi suan jin.

Come puoi vedere, il teorema di Pitagora ha occupato le menti dei matematici fin dall'antichità. Circa 367 diversi elementi di prova che esistono oggi servono come conferma. Nessun altro teorema può competere con esso in questo senso. Notevoli autori di prove includono Leonardo da Vinci e il 20° Presidente degli Stati Uniti, James Garfield. Tutto ciò parla dell'estrema importanza di questo teorema per la matematica: la maggior parte dei teoremi della geometria sono derivati ​​da essa o, in un modo o nell'altro, ad essa collegati.

Dimostrazioni del teorema di Pitagora

I libri di testo scolastici forniscono principalmente dimostrazioni algebriche. Ma l'essenza del teorema è nella geometria, quindi consideriamo prima di tutto quelle dimostrazioni del famoso teorema che si basano su questa scienza.

Prova 1

Per la dimostrazione più semplice del teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo, devi porre le condizioni ideali: lascia che il triangolo sia non solo rettangolo, ma anche isoscele. C'è motivo di credere che fosse un tale triangolo originariamente considerato dagli antichi matematici.

Dichiarazione "un quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati costruiti sulle sue gambe" può essere illustrato con il seguente disegno:

Osserva il triangolo rettangolo isoscele ABC: sull'ipotenusa AC puoi costruire un quadrato composto da quattro triangoli uguali all'originale ABC. E sulle gambe AB e BC costruite su un quadrato, ciascuna delle quali contiene due triangoli simili.

A proposito, questo disegno ha costituito la base di numerosi aneddoti e cartoni dedicati al teorema di Pitagora. Forse il più famoso lo è "I pantaloni pitagorici sono uguali in tutte le direzioni":

Prova 2

Questo metodo combina algebra e geometria e può essere visto come una variante dell'antica dimostrazione indiana del matematico Bhaskari.

Costruisci un triangolo rettangolo con i lati a, b e c(Fig. 1). Quindi costruisci due quadrati con i lati uguali alla somma delle lunghezze delle due gambe - (a+b). In ciascuno dei quadrati, fai delle costruzioni, come nelle figure 2 e 3.

Nel primo quadrato, costruisci quattro degli stessi triangoli della Figura 1. Di conseguenza, si ottengono due quadrati: uno di lato a, il secondo di lato B.

Nel secondo quadrato, quattro triangoli simili costruiti formano un quadrato con il lato uguale all'ipotenusa C.

La somma delle aree dei quadrati costruiti in Fig. 2 è uguale all'area del quadrato che abbiamo costruito con il lato c in Fig. 3. Questo può essere facilmente verificato calcolando le aree dei quadrati di Fig. 2 secondo la formula. E l'area del quadrato inscritto nella Figura 3. sottraendo le aree di quattro triangoli rettangoli uguali inscritti nel quadrato dall'area di un grande quadrato con un lato (a+b).

Mettendo giù tutto questo, abbiamo: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Espandi le parentesi, esegui tutti i calcoli algebrici necessari e ottienilo a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Allo stesso tempo, l'area dell'inscritto in Fig.3. il quadrato può anche essere calcolato usando la formula tradizionale S=c2. Quelli. a2+b2=c2 Hai dimostrato il teorema di Pitagora.

Prova 3

La stessa antica dimostrazione indiana è descritta nel XII secolo nel trattato "The Crown of Knowledge" ("Siddhanta Shiromani"), e come argomento principale l'autore utilizza un appello rivolto ai talenti matematici e alle capacità di osservazione di studenti e seguaci: “Guarda!”.

Ma analizzeremo questa dimostrazione in modo più dettagliato:

All'interno del quadrato, costruisci quattro triangoli rettangoli come indicato nel disegno. Viene indicato il lato del grande quadrato, che è anche l'ipotenusa da. Chiamiamo le gambe del triangolo ma e B. Secondo il disegno, il lato del quadrato interno è (a-b).

Usa la formula dell'area quadrata S=c2 per calcolare l'area del quadrato esterno. E allo stesso tempo calcola lo stesso valore sommando l'area del quadrato interno e l'area di tutti e quattro i triangoli rettangoli: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Puoi utilizzare entrambe le opzioni per calcolare l'area di un quadrato per assicurarti che diano lo stesso risultato. E questo ti dà il diritto di scriverlo c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Come risultato della soluzione, otterrai la formula del teorema di Pitagora c2=a2+b2. Il teorema è stato dimostrato.

Prova 4

Questa curiosa prova cinese antica è chiamata "sedia della sposa" - a causa della figura simile a una sedia che risulta da tutte le costruzioni:

Utilizza il disegno che abbiamo già visto in Figura 3 nella seconda dimostrazione. E il quadrato interno di lato c è costruito allo stesso modo dell'antica dimostrazione indiana data sopra.

Se tagli mentalmente due triangoli rettangoli verdi dal disegno di Fig. 1, li trasferisci ai lati opposti del quadrato di lato c e colleghi le ipotenuse alle ipotenuse dei triangoli lilla, otterrai una figura chiamata "sposa sedia” (Fig. 2). Per chiarezza, puoi fare lo stesso con quadrati e triangoli di carta. Vedrai che la "sedia della sposa" è formata da due quadrati: quelli piccoli con un fianco B e grande con un lato un.

Queste costruzioni hanno permesso agli antichi matematici cinesi ea noi che li abbiamo seguiti di giungere alla conclusione che c2=a2+b2.

Prova 5

Questo è un altro modo per trovare una soluzione al teorema di Pitagora basato sulla geometria. Si chiama Metodo Garfield.

Costruisci un triangolo rettangolo ABC. Dobbiamo dimostrarlo BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Per fare questo, continua la gamba corrente alternata e costruisci un segmento cd, che è uguale alla gamba AB. Perpendicolare inferiore ANNO DOMINI sezione ED. Segmenti ED e corrente alternata sono uguali. unisci i punti e e IN, così come e e DA e ottieni un disegno come l'immagine qui sotto:

Per provare la torre, ricorriamo nuovamente al metodo che abbiamo già testato: troviamo l'area della figura risultante in due modi e uguagliamo le espressioni tra loro.

Trova l'area di un poligono UN LETTO può essere fatto sommando le aree dei tre triangoli che lo formano. E uno di loro ERU, non è solo rettangolare, ma anche isoscele. Non dimentichiamolo AB=CD, AC=DE e BC=CE- questo ci permetterà di semplificare la registrazione e di non sovraccaricarla. Così, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Allo stesso tempo, è ovvio che UN LETTOè un trapezio. Pertanto, calcoliamo la sua area usando la formula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Per i nostri calcoli, è più conveniente e più chiaro rappresentare il segmento ANNO DOMINI come somma dei segmenti corrente alternata e cd.

Scriviamo entrambi i modi per calcolare l'area di una figura mettendo un segno di uguale tra di loro: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Usiamo l'uguaglianza dei segmenti a noi già nota e sopra descritta per semplificare il lato destro della notazione: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. E ora apriamo le parentesi e trasformiamo l'uguaglianza: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Dopo aver terminato tutte le trasformazioni, otteniamo esattamente ciò di cui abbiamo bisogno: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Abbiamo dimostrato il teorema.

Naturalmente, questo elenco di prove è tutt'altro che completo. Il teorema di Pitagora può anche essere dimostrato usando vettori, numeri complessi, equazioni differenziali, stereometria, ecc. E anche i fisici: se, ad esempio, si versa del liquido in volumi quadrati e triangolari simili a quelli mostrati nei disegni. Versando del liquido, è possibile dimostrare l'uguaglianza delle aree e il teorema stesso di conseguenza.

Qualche parola sulle terzine pitagoriche

Questo problema è poco o non studiato nel curriculum scolastico. Nel frattempo, è molto interessante ed è di grande importanza in geometria. Le triple pitagoriche sono usate per risolvere molti problemi matematici. L'idea di loro può esserti utile in un'ulteriore istruzione.

Allora cosa sono le triplette pitagoriche? I cosiddetti numeri naturali, raccolti in tre, la somma dei quadrati di due dei quali è uguale al terzo numero al quadrato.

Le triple pitagoriche possono essere:

• primitivo (tutti e tre i numeri sono primi);
• non primitivo (se ogni numero di una tripla viene moltiplicato per lo stesso numero, ottieni una nuova tripla che non è primitiva).

Già prima della nostra era, gli antichi egizi erano affascinati dalla mania per i numeri delle triple pitagoriche: nei compiti consideravano un triangolo rettangolo con lati di 3,4 e 5 unità. A proposito, qualsiasi triangolo i cui lati sono uguali ai numeri della terna pitagorica è di default rettangolare.

Esempi di triple pitagoriche: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) ecc.

Applicazione pratica del teorema

Il teorema di Pitagora trova applicazione non solo in matematica, ma anche in architettura e costruzione, astronomia e persino letteratura.

In primo luogo, sulla costruzione: il teorema di Pitagora è ampiamente utilizzato in problemi di diversi livelli di complessità. Ad esempio, guarda la finestra romanica:

Indichiamo la larghezza della finestra come B, allora il raggio del semicerchio grande può essere indicato come R ed esprimere attraverso b: R=b/2. Il raggio di semicerchi più piccoli può anche essere espresso in termini di b: r=b/4. In questo problema, ci interessa il raggio del cerchio interno della finestra (chiamiamolo P).

Il teorema di Pitagora torna utile per il calcolo R. Per fare ciò, utilizziamo un triangolo rettangolo, che è indicato da una linea tratteggiata nella figura. L'ipotenusa di un triangolo è formata da due raggi: b/4+p. Una gamba è un raggio b/4, altro b/2-p. Usando il teorema di Pitagora scriviamo: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Successivamente, apriamo le parentesi e otteniamo b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Trasformiamo questa espressione in bp/2=b 2 /4-bp. E poi dividiamo tutti i termini in B, ne diamo di simili da ottenere 3/2*p=b/4. E alla fine lo troviamo p=b/6- che è ciò di cui avevamo bisogno.

Usando il teorema, puoi calcolare la lunghezza delle travi per un tetto a due falde. Determina l'altezza necessaria per una torre mobile affinché il segnale raggiunga un determinato insediamento. E persino installare costantemente un albero di Natale nella piazza della città. Come puoi vedere, questo teorema non vive solo sulle pagine dei libri di testo, ma è spesso utile nella vita reale.

Per quanto riguarda la letteratura, il teorema di Pitagora ha ispirato gli scrittori fin dall'antichità e continua a farlo ancora oggi. Ad esempio, lo scrittore tedesco del diciannovesimo secolo Adelbert von Chamisso si ispirò a lei per scrivere un sonetto:

La luce della verità non si dissiperà presto,
Ma, avendo brillato, è improbabile che si dissipi
E, come migliaia di anni fa,
Non causerà dubbi e controversie.

Il più saggio quando tocca l'occhio
Luce di verità, ringrazia gli dèi;
E cento tori, pugnalati, mentono -
Il regalo di ritorno del fortunato Pitagora.

Da allora, i tori hanno ruggito disperatamente:
Ha eccitato per sempre la tribù dei tori
evento qui menzionato.

Pensano che sia giunto il momento
E ancora saranno sacrificati
Qualche grande teorema.

(tradotto da Viktor Toporov)

E nel ventesimo secolo, lo scrittore sovietico Yevgeny Veltistov nel suo libro "Le avventure dell'elettronica" ha dedicato un intero capitolo alle dimostrazioni del teorema di Pitagora. E mezzo capitolo della storia sul mondo bidimensionale che potrebbe esistere se il teorema di Pitagora diventasse la legge fondamentale e persino la religione per un mondo unico. Sarebbe molto più facile viverci, ma anche molto più noioso: ad esempio, lì nessuno comprende il significato delle parole "tondo" e "soffice".

E nel libro "Le avventure dell'elettronica", l'autore, per bocca dell'insegnante di matematica Taratara, afferma: "La cosa principale in matematica è il movimento del pensiero, le nuove idee". È questo volo creativo del pensiero che genera il teorema di Pitagora: non per niente ha così tante prove diverse. Aiuta ad andare oltre il solito ea guardare le cose familiari in un modo nuovo.

Conclusione

Questo articolo è stato creato in modo che tu possa guardare oltre il curriculum scolastico in matematica e imparare non solo quelle dimostrazioni del teorema di Pitagora che sono fornite nei libri di testo "Geometria 7-9" (LS Atanasyan, V.N. Rudenko) e "Geometria 7 -11 ” (AV Pogorelov), ma anche altri curiosi modi per dimostrare il famoso teorema. E guarda anche esempi di come il teorema di Pitagora può essere applicato nella vita di tutti i giorni.

In primo luogo, queste informazioni ti permetteranno di ottenere punteggi più alti nelle lezioni di matematica: le informazioni sull'argomento da fonti aggiuntive sono sempre molto apprezzate.

In secondo luogo, volevamo aiutarti a farti un'idea di quanto sia interessante la matematica. Essere convinti con esempi concreti che in essa c'è sempre posto per la creatività. Ci auguriamo che il teorema di Pitagora e questo articolo ti ispirino a fare le tue ricerche e scoperte entusiasmanti in matematica e altre scienze.

Dicci nei commenti se hai trovato interessanti le prove presentate nell'articolo. Hai trovato queste informazioni utili nei tuoi studi? Facci sapere cosa ne pensi del teorema di Pitagora e di questo articolo: saremo felici di discuterne con te.

sito, con copia integrale o parziale del materiale, è richiesto un link alla fonte.

casa

Modi per dimostrare il teorema di Pitagora.

G. Glaser,
Accademico dell'Accademia Russa dell'Educazione, Mosca

Sul teorema di Pitagora e come dimostrarlo

L'area di un quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sulle sue gambe...

Questo è uno dei più famosi teoremi geometrici dell'antichità, chiamato teorema di Pitagora. È ancora noto a quasi tutti coloro che hanno studiato la planimetria. Mi sembra che se vogliamo far conoscere alle civiltà extraterrestri l'esistenza della vita intelligente sulla Terra, allora dovremmo inviare nello spazio un'immagine della figura di Pitagora. Penso che se gli esseri pensanti possono accettare queste informazioni, capiranno senza una complessa decodifica dei segnali che esiste una civiltà abbastanza sviluppata sulla Terra.

Il famoso filosofo e matematico greco Pitagora di Samo, da cui prende il nome il teorema, visse circa 2,5 mila anni fa. Le informazioni biografiche su Pitagora che ci sono pervenute sono frammentarie e tutt'altro che affidabili. Molte leggende sono associate al suo nome. È autenticamente noto che Pitagora viaggiò molto nei paesi dell'Oriente, visitò l'Egitto e Babilonia. In una delle colonie greche dell'Italia meridionale fondò la famosa "scuola pitagorica", che ebbe un ruolo importante nella vita scientifica e politica dell'antica Grecia. A Pitagora viene attribuito il merito di aver dimostrato il noto teorema geometrico. Sulla base delle leggende diffuse da famosi matematici (Proclo, Plutarco, ecc.), per molto tempo si è creduto che questo teorema non fosse noto prima di Pitagora, da cui il nome: il teorema di Pitagora.

Tuttavia, non c'è dubbio che questo teorema fosse noto molti anni prima di Pitagora. Quindi, 1500 anni prima di Pitagora, gli antichi egizi sapevano che un triangolo con i lati 3, 4 e 5 è rettangolare e usavano questa proprietà (cioè il teorema inverso di Pitagora) per costruire angoli retti quando pianificavano appezzamenti di terreno e strutturavano gli edifici. E ancora oggi, muratori e falegnami rurali, ponendo le fondamenta della capanna, realizzandone i dettagli, disegnano questo triangolo per ottenere un angolo retto. La stessa cosa è stata fatta migliaia di anni fa nella costruzione di magnifici templi in Egitto, Babilonia, Cina e probabilmente in Messico. Nella più antica opera matematica e astronomica cinese giunta fino a noi, Zhou-bi, scritta circa 600 anni prima di Pitagora, tra le altre frasi relative a un triangolo rettangolo, è contenuto anche il teorema di Pitagora. Anche prima questo teorema era noto agli indù. Così Pitagora non scoprì questa proprietà di un triangolo rettangolo; fu probabilmente il primo a generalizzarla e dimostrarla, trasferendola così dal campo della pratica al campo della scienza. Non sappiamo come abbia fatto. Alcuni storici della matematica ipotizzano che, tuttavia, la dimostrazione di Pitagora non fosse fondamentale, ma solo una conferma, una verifica di questa proprietà su un certo numero di particolari tipi di triangoli, a cominciare da un triangolo rettangolo isoscele, per il quale segue ovviamente dalla Fig. uno.

DA Fin dai tempi antichi, i matematici hanno trovato sempre più dimostrazioni del teorema di Pitagora, sempre più spunti per le sue dimostrazioni. Si conoscono più di un centinaio e mezzo di tali prove - più o meno rigorose, più o meno visive -, ma si è conservato il desiderio di aumentarne il numero. Penso che la "scoperta" indipendente delle dimostrazioni del teorema di Pitagora sarà utile per gli scolari moderni.

Consideriamo alcuni esempi di prove che possono suggerire la direzione di tali ricerche.

Prova di Pitagora

"Il quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati costruiti sulle sue gambe." La dimostrazione più semplice del teorema si ottiene nel caso più semplice di un triangolo rettangolo isoscele. Probabilmente, il teorema è iniziato con lui. In effetti, basta guardare la piastrellatura dei triangoli rettangoli isoscele per vedere che il teorema è vero. Ad esempio, per DABC: un quadrato costruito sull'ipotenusa AU, contiene 4 triangoli iniziali e i quadrati costruiti sulle gambe ne hanno due. Il teorema è stato dimostrato.

Prove basate sull'uso del concetto di uguale area delle figure.

Allo stesso tempo, possiamo considerare prove in cui il quadrato costruito sull'ipotenusa di un dato triangolo rettangolo è “composto” dalle stesse figure dei quadrati costruiti sulle gambe. Possiamo anche considerare tali prove in cui viene utilizzata la permutazione dei termini delle cifre e vengono prese in considerazione una serie di nuove idee.

Sulla fig. 2 mostra due quadrati uguali. La lunghezza dei lati di ogni quadrato è a + b. Ciascuno dei quadrati è diviso in parti costituite da quadrati e triangoli rettangoli. È chiaro che se sottraiamo l'area quadrupla di un triangolo rettangolo con le gambe a, b dall'area quadrata, rimangono aree uguali, ad es. c 2 \u003d a 2 + b 2. Tuttavia, gli antichi indù, a cui appartiene questo ragionamento, di solito non lo scrivevano, ma accompagnavano il disegno con una sola parola: "guarda!" È del tutto possibile che Pitagora abbia offerto la stessa prova.

evidenza additiva.

Queste prove si basano sulla scomposizione dei quadrati costruiti sulle gambe in figure, da cui è possibile sommare un quadrato costruito sull'ipotenusa.

Qui: ABC è un triangolo rettangolo con angolo retto C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Dimostra da solo l'uguaglianza a coppie dei triangoli ottenuta dividendo i quadrati costruiti sulle gambe e l'ipotenusa.

Dimostra il teorema usando questa partizione.

 Sulla base della dimostrazione di al-Nairiziya, è stata fatta un'altra scomposizione dei quadrati in figure uguali a coppie (Fig. 5, qui ABC è un triangolo rettangolo con angolo retto C).

 Un'altra dimostrazione del metodo di scomposizione dei quadrati in parti uguali, detta "ruota con lame", è mostrata in fig. 6. Qui: ABC è un triangolo rettangolo con angolo retto C; O - il centro di una piazza costruita su una grande gamba; le linee tratteggiate che passano per il punto O sono perpendicolari o parallele all'ipotenusa.

 Questa scomposizione dei quadrati è interessante in quanto i suoi quadrilateri uguali a coppie possono essere mappati l'uno sull'altro mediante traslazione parallela. Molte altre dimostrazioni del teorema di Pitagora possono essere offerte utilizzando la scomposizione dei quadrati in figure.

Dimostrazioni per metodo di estensione.

L'essenza di questo metodo è che ai quadrati costruiti sulle gambe e al quadrato costruito sull'ipotenusa vengono fissate figure uguali in modo tale da ottenere figure uguali.

La validità del teorema di Pitagora deriva dalla uguale dimensione degli esagoni AEDFPB e ACBNMQ. Qui CEP, la linea EP divide l'esagono AEDFPB in due quadrangoli di uguale area, la linea CM divide l'esagono ACBNMQ in due quadrangoli di uguale area; una rotazione di 90° del piano attorno al centro A mappa il quadrilatero AEPB al quadrilatero ACMQ.

Sulla fig. 8 La figura pitagorica si completa con un rettangolo, i cui lati sono paralleli ai corrispondenti lati dei quadrati costruiti sulle gambe. Rompiamo questo rettangolo in triangoli e rettangoli. Innanzitutto, sottraiamo tutti i poligoni 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dal rettangolo risultante, lasciando un quadrato costruito sull'ipotenusa. Quindi, dallo stesso rettangolo, sottraiamo i rettangoli 5, 6, 7 e i rettangoli ombreggiati, otteniamo dei quadrati costruiti sulle gambe.

Dimostriamo ora che le figure sottratte nel primo caso sono di dimensioni uguali alle figure sottratte nel secondo caso.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

quindi c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP=ACLF=ACE=b2;

CBML = CBNQ = a 2 ;

OBMP = ABMF = c 2 ;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = un 2 + b 2 .

Metodo algebrico di dimostrazione.

	Riso. 12 illustra la dimostrazione del grande matematico indiano Bhaskari (il famoso autore di Lilavati, X 2° secolo). Il disegno era accompagnato da una sola parola: GUARDA! Tra le dimostrazioni del teorema di Pitagora con il metodo algebrico, il primo posto (forse il più antico) è occupato da una dimostrazione per similarità.
	Presentiamo in una presentazione moderna una di tali prove, che appartiene a Pitagora.

h e fig. 13 ABC - rettangolare, C - angolo retto, CMAB, b 1 - proiezione della gamba b sull'ipotenusa, a 1 - proiezione della gamba a sull'ipotenusa, h - altezza del triangolo attratto dall'ipotenusa.

Dal fatto che ABC è simile a ACM ne consegue

b 2 \u003d cb 1; (uno)

dal fatto che ABC è simile a BCM ne consegue

a 2 = ca 1 . (2)

Sommando le uguaglianze (1) e (2) termine per termine, otteniamo a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Se Pitagora offrì davvero una tale dimostrazione, allora conosceva anche una serie di importanti teoremi geometrici che gli storici moderni della matematica di solito attribuiscono a Euclide.

La dimostrazione di Möllmann (Fig. 14). L'area di questo triangolo rettangolo, da un lato, è uguale dall'altro, dove p è il semiperimetro del triangolo, r è il raggio del cerchio in esso inscritto Abbiamo:

da cui segue che c 2 =a 2 +b 2 .

nel secondo

Uguagliando queste espressioni, otteniamo il teorema di Pitagora.

Metodo combinato

Uguaglianza dei triangoli

c 2 = un 2 + b 2 . (3)

Confrontando le relazioni (3) e (4), otteniamo ciò

c 1 2 = c 2 , oppure c 1 = c.

Pertanto, i triangoli - dati e costruiti - sono uguali, poiché hanno tre lati corrispondentemente uguali. L'angolo C 1 è retto, quindi anche l'angolo C di questo triangolo è retto.

Antiche testimonianze indiane.

I matematici dell'antica India hanno notato che per dimostrare il teorema di Pitagora è sufficiente utilizzare l'interno dell'antico disegno cinese. Nel trattato “Siddhanta Shiromani” (“Corona della Conoscenza”) scritto su foglie di palma dal più grande matematico indiano del XX secolo. Bha-skara ha posizionato un disegno (Fig. 4)

caratteristica dell'evidenza indiana l la parola "guarda!". Come puoi vedere, i triangoli rettangoli sono impilati qui con la loro ipotenusa verso l'esterno e il quadrato da 2 spostato sulla "sedia da sposa" da 2 -B 2 . Si noti che casi speciali del teorema di Pitagora (ad esempio, la costruzione di un quadrato la cui area è doppia fig.4 zona di questa piazza) si trovano nell'antico trattato indiano "Sulva"

Hanno risolto un triangolo rettangolo e dei quadrati costruiti sulle sue gambe, o, in altre parole, figure composte da 16 triangoli rettangoli isoscele identici e quindi si adattano a un quadrato. È un giglio. una piccola frazione delle ricchezze nascoste nella perla della matematica antica: il teorema di Pitagora.

Antiche testimonianze cinesi.

I trattati di matematica dell'antica Cina ci sono pervenuti nell'edizione del II secolo. AVANTI CRISTO. Il fatto è che nel 213 aC. L'imperatore cinese Shi Huang-di, cercando di eliminare le antiche tradizioni, ordinò di bruciare tutti i libri antichi. In P c. AVANTI CRISTO. in Cina fu inventata la carta e contemporaneamente iniziò la ricostruzione dei libri antichi. La chiave di questa prova non è difficile da trovare. Infatti, nell'antico disegno cinese, ci sono quattro triangoli rettangoli uguali con cateteri a, b e ipotenusa da accatastato G) in modo che il loro contorno esterno formi Fig. 2 un quadrato con i lati a + b, e quello interno è un quadrato di lato c, costruito sull'ipotenusa (Fig. 2, b). Se si ritaglia un quadrato di lato c e si posizionano i restanti 4 triangoli ombreggiati in due rettangoli (Fig. 2, in),è chiaro che il vuoto risultante, da un lato, è uguale a DA 2 , e dall'altro - da 2 +b 2 , quelli. c 2 \u003d  2 + b 2. Il teorema è stato dimostrato. Si noti che con tale prova, le costruzioni all'interno del quadrato sull'ipotenusa, che vediamo nell'antico disegno cinese (Fig. 2, a), non vengono utilizzate. Apparentemente, gli antichi matematici cinesi avevano una prova diversa. Proprio se in un quadrato con un lato da due triangoli ombreggiati (Fig. 2, B) tagliare e collegare le ipotenuse alle altre due ipotenuse (Fig. 2, G),è facile trovarlo

La figura risultante, a volte indicata come la "sedia della sposa", è composta da due quadrati con i lati ma e B, quelli. C 2 == un 2 +b 2 .

h La figura 3 riproduce un disegno del trattato "Zhou-bi...". Qui viene considerato il teorema di Pitagora per il triangolo egizio con gambe 3, 4 e ipotenusa 5 unità. Il quadrato sull'ipotenusa contiene 25 celle e il quadrato inscritto in esso sulla gamba più grande ne contiene 16. È chiaro che la parte rimanente contiene 9 celle. Questo sarà il quadrato sulla gamba più piccola.

1

Shapovalova LA (stazione Egorlykskaya, MBOU ESOSH n. 11)

1. Glazer GI Storia della matematica a scuola VII - VIII classi, una guida per gli insegnanti, - M: Education, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. "Dietro le pagine di un libro di testo di matematica" Manuale per gli studenti delle classi 5-6. – M.: Illuminismo, 1989.

3. Zenkevich I.G. "Estetica della lezione di matematica". – M.: Illuminismo, 1981.

4. Litzman V. Il teorema di Pitagora. - M., 1960.

5. Voloshinov AV "Pitagora". - M., 1993.

6. Pichurin L.F. "Oltre le pagine di un libro di testo di algebra". - M., 1990.

7. Zemlyakov A.N. "Geometria in 10a elementare." - M., 1986.

8. Giornale "Matematica" 17/1996.

9. Giornale "Matematica" 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Raccolta di problemi in matematica elementare". - M., 1963.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Manuale di matematica". - M., 1973.

12. Shchetnikov AI "La dottrina pitagorica del numero e della grandezza". - Novosibirsk, 1997.

13. “Numeri reali. Espressioni irrazionali» Grado 8. Stampa dell'Università di Tomsk. – Tomsk, 1997.

14. Atanasyan MS Grado "Geometria" 7-9. – M.: Illuminismo, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Quest'anno accademico ho conosciuto un teorema interessante, noto, come si è scoperto, dai tempi antichi:

"Il quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati costruiti sulle gambe."

Solitamente la scoperta di questa affermazione è da attribuire all'antico filosofo e matematico greco Pitagora (VI secolo aC). Ma lo studio di antichi manoscritti ha mostrato che questa affermazione era nota molto prima della nascita di Pitagora.

Mi chiedevo perché, in questo caso, sia associato al nome di Pitagora.

Rilevanza dell'argomento: Il teorema di Pitagora è di grande importanza: in geometria è usato letteralmente ad ogni passo. Credo che le opere di Pitagora siano ancora attuali, perché ovunque guardiamo, ovunque possiamo vedere i frutti delle sue grandi idee, incarnate in vari rami della vita moderna.

Lo scopo della mia ricerca era: scoprire chi fosse Pitagora e che relazione avesse con questo teorema.

Studiando la storia del teorema, ho deciso di scoprire:

Ci sono altre dimostrazioni di questo teorema?

Qual è il significato di questo teorema nella vita delle persone?

Quale ruolo ebbe Pitagora nello sviluppo della matematica?

Dalla biografia di Pitagora

Pitagora di Samo è un grande scienziato greco. La sua fama è associata al nome del teorema di Pitagora. Anche se ora sappiamo già che questo teorema era noto nell'antica Babilonia 1200 anni prima di Pitagora, e in Egitto 2000 anni prima di lui era noto un triangolo rettangolo con lati 3, 4, 5, lo chiamiamo ancora con il nome di questo antico scienziato.

Quasi nulla è noto in modo affidabile sulla vita di Pitagora, ma è associato al suo nome un gran numero di leggende.

Pitagora nacque nel 570 aC sull'isola di Samo.

Pitagora aveva un bell'aspetto, portava una lunga barba e un diadema d'oro in testa. Pitagora non è un nome, ma un soprannome che il filosofo ha ricevuto per parlare sempre in modo corretto e convincente, come un oracolo greco. (Pitagora - "discorso persuasivo").

Nel 550 aC Pitagora prende una decisione e va in Egitto. Così, davanti a Pitagora si apre un paese sconosciuto e una cultura sconosciuta. Molto stupito e sorpreso Pitagora in questo paese, e dopo alcune osservazioni sulla vita degli egizi, Pitagora si rese conto che la via della conoscenza, protetta dalla casta dei sacerdoti, passa attraverso la religione.

Dopo undici anni di studio in Egitto, Pitagora va in patria, dove lungo la strada cade in cattività babilonese. Lì conosce la scienza babilonese, che era più sviluppata di quella egiziana. I babilonesi sapevano come risolvere equazioni lineari, quadratiche e alcuni tipi di equazioni cubiche. Fuggito dalla prigionia, non poté rimanere a lungo nella sua patria a causa dell'atmosfera di violenza e tirannia che vi regnava. Decise di trasferirsi a Crotone (colonia greca nel nord Italia).

È a Crotone che inizia il periodo più glorioso della vita di Pitagora. Lì stabilì qualcosa come una confraternita etica-religiosa o un ordine monastico segreto, i cui membri erano obbligati a condurre il cosiddetto stile di vita pitagorico.

Pitagora e i Pitagorici

Pitagora organizzò in una colonia greca nel sud della penisola appenninica una confraternita religiosa ed etica, come un ordine monastico, che sarebbe poi stato chiamato Unione Pitagorica. I membri dell'unione dovevano aderire a determinati principi: in primo luogo, lottare per il bello e il glorioso, in secondo luogo, essere utili e, in terzo luogo, lottare per un alto piacere.

Il sistema di regole morali ed etiche, lasciato in eredità da Pitagora ai suoi studenti, fu compilato in una sorta di codice morale dei "Versi d'oro" pitagorici, molto popolari nell'era dell'Antichità, del Medioevo e del Rinascimento.

Il sistema di studi pitagorico era costituito da tre sezioni:

Insegnamenti sui numeri - aritmetica,

Insegnamenti sulle figure - geometria,

Insegnamenti sulla struttura dell'universo - astronomia.

Il sistema educativo stabilito da Pitagora durò per molti secoli.

La scuola di Pitagora fece molto per dare alla geometria il carattere di una scienza. La caratteristica principale del metodo pitagorico era la combinazione della geometria con l'aritmetica.

Pitagora si occupò molto delle proporzioni e delle progressioni e, probabilmente, della somiglianza delle figure, poiché a lui è attribuita la risoluzione del problema: “Costruiscine una terza, di dimensioni uguali a uno dei dati e simile alla seconda, in base alla date due cifre”.

Pitagora ei suoi studenti introdussero il concetto di numeri poligonali, amichevoli, perfetti e ne studiarono le proprietà. L'aritmetica, come pratica di calcolo, non interessava Pitagora e dichiarò con orgoglio di "porre l'aritmetica al di sopra degli interessi del mercante".

I membri dell'Unione pitagorica erano residenti in molte città della Grecia.

I pitagorici accettarono anche le donne nella loro società. L'Unione fiorì per più di vent'anni, poi iniziò la persecuzione dei suoi membri, molti degli studenti furono uccisi.

C'erano molte leggende diverse sulla morte di Pitagora stesso. Ma gli insegnamenti di Pitagora e dei suoi discepoli continuarono a vivere.

Dalla storia della creazione del teorema di Pitagora

Attualmente è noto che questo teorema non è stato scoperto da Pitagora. Tuttavia, alcuni credono che sia stato Pitagora a darne per primo la prova completa, mentre altri gli negano questo merito. Alcuni attribuiscono a Pitagora la prova che dà Euclide nel primo libro dei suoi Elementi. D'altra parte, Proclo sostiene che la prova negli Elementi è dovuta allo stesso Euclide. Come possiamo vedere, la storia della matematica non ha quasi dati concreti affidabili sulla vita di Pitagora e sulla sua attività matematica.

Iniziamo la nostra rassegna storica del teorema di Pitagora con la Cina antica. Qui il libro matematico di Chu-pei attira un'attenzione speciale. Questo saggio dice questo sul triangolo pitagorico con i lati 3, 4 e 5:

"Se un angolo retto viene scomposto nelle sue parti componenti, la linea che collega le estremità dei suoi lati sarà 5 quando la base è 3 e l'altezza è 4."

È molto facile riprodurre il loro metodo di costruzione. Prendi una corda lunga 12 m e legala ad essa lungo una striscia colorata a una distanza di 3 m. da un'estremità ea 4 metri dall'altra. Un angolo retto sarà racchiuso tra i lati lunghi 3 e 4 metri.

La geometria tra gli indù era strettamente collegata al culto. È altamente probabile che il teorema del quadrato dell'ipotenusa fosse già noto in India intorno all'VIII secolo a.C. Accanto a prescrizioni puramente rituali, vi sono opere di natura geometricamente teologica. In questi scritti, risalenti al IV o V secolo a.C., incontriamo la costruzione di un angolo retto utilizzando un triangolo di lati 15, 36, 39.

Nel medioevo il teorema di Pitagora definiva il limite, se non del massimo possibile, almeno di una buona conoscenza matematica. Il caratteristico disegno del teorema di Pitagora, che ora viene talvolta trasformato dagli scolari, ad esempio, in un cilindro vestito con una veste da professore o da uomo, era spesso usato a quei tempi come simbolo della matematica.

In conclusione, presentiamo varie formulazioni del teorema di Pitagora tradotte dal greco, dal latino e dal tedesco.

Il teorema di Euclide recita (traduzione letterale):

"In un triangolo rettangolo, il quadrato del lato che copre l'angolo retto è uguale ai quadrati dei lati che racchiudono l'angolo retto."

Come puoi vedere, in diversi paesi e diverse lingue ci sono diverse versioni della formulazione del teorema familiare. Creati in tempi diversi e in lingue diverse, riflettono l'essenza di un modello matematico, la cui dimostrazione ha anche diverse opzioni.

Cinque modi per dimostrare il teorema di Pitagora

antica prova cinese

In un antico disegno cinese, quattro triangoli rettangoli uguali con gambe a, b e ipotenusa c sono impilati in modo che il loro contorno esterno formi un quadrato di lato a + b, e quello interno formi un quadrato di lato c, costruito sul ipotenusa

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Prova di J. Gardfield (1882)

Disponiamo due triangoli rettangoli uguali in modo che la gamba di uno di essi sia una continuazione dell'altro.

L'area del trapezio in esame si trova come il prodotto della metà della somma delle basi e dell'altezza

D'altra parte, l'area del trapezio è uguale alla somma delle aree dei triangoli risultanti:

Uguagliando queste espressioni, otteniamo:

La prova è semplice

Questa dimostrazione si ottiene nel caso più semplice di un triangolo rettangolo isoscele.

Probabilmente, il teorema è iniziato con lui.

In effetti, basta guardare la piastrellatura dei triangoli rettangoli isoscele per vedere che il teorema è vero.

Ad esempio, per il triangolo ABC: il quadrato costruito sull'ipotenusa AC contiene 4 triangoli iniziali e i quadrati costruiti sulle gambe ne contengono due. Il teorema è stato dimostrato.

Prova degli antichi indù

Un quadrato con un lato (a + b), può essere diviso in parti sia come in fig. 12. a, o come in fig. 12b. È chiaro che le parti 1, 2, 3, 4 sono le stesse in entrambe le figure. E se gli uguali vengono sottratti da uguali (aree), allora gli uguali rimarranno, cioè c2 = a2 + b2.

La dimostrazione di Euclide

Per due millenni, la più comune è stata la dimostrazione del teorema di Pitagora, inventato da Euclide. Si trova nel suo famoso libro "Gli inizi".

Euclide abbassò l'altezza BH dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa e dimostrò che la sua estensione divide il quadrato compiuto sull'ipotenusa in due rettangoli, le cui aree sono uguali alle aree dei corrispondenti quadrati costruiti sulle gambe.

Il disegno utilizzato nella dimostrazione di questo teorema è scherzosamente chiamato "pantaloni pitagorici". Per molto tempo è stato considerato uno dei simboli della scienza matematica.

Applicazione del Teorema di Pitagora

Il significato del teorema di Pitagora sta nel fatto che la maggior parte dei teoremi della geometria possono essere derivati ​​da esso o con il suo aiuto e molti problemi possono essere risolti. Inoltre, il significato pratico del teorema di Pitagora e del suo teorema inverso è che possono essere usati per trovare le lunghezze dei segmenti senza misurare i segmenti stessi. Questo, per così dire, apre la strada da una linea retta a un piano, da un piano allo spazio volumetrico e oltre. È per questo motivo che il teorema di Pitagora è così importante per l'umanità, che cerca di scoprire più dimensioni e creare tecnologie in queste dimensioni.

Conclusione

Il teorema di Pitagora è così famoso che è difficile immaginare una persona che non ne abbia sentito parlare. Ho imparato che ci sono diversi modi per dimostrare il teorema di Pitagora. Ho studiato una serie di fonti storiche e matematiche, comprese le informazioni su Internet, e mi sono reso conto che il teorema di Pitagora è interessante non solo per la sua storia, ma anche perché occupa un posto importante nella vita e nella scienza. Ciò è evidenziato dalle varie interpretazioni del testo di questo teorema da me fornite in questo lavoro e dalle modalità delle sue dimostrazioni.

Quindi, il teorema di Pitagora è uno dei principali e, si potrebbe dire, il più importante teorema della geometria. Il suo significato sta nel fatto che la maggior parte dei teoremi della geometria possono essere dedotti da essa o con il suo aiuto. Il teorema di Pitagora è anche notevole in quanto di per sé non è affatto ovvio. Ad esempio, le proprietà di un triangolo isoscele possono essere viste direttamente sul disegno. Ma non importa quanto guardi un triangolo rettangolo, non vedrai mai che esiste una semplice relazione tra i suoi lati: c2 = a2 + b2. Pertanto, la visualizzazione viene spesso utilizzata per dimostrarlo. Il merito di Pitagora fu di aver dato una piena dimostrazione scientifica di questo teorema. Interessante la personalità dello stesso scienziato, la cui memoria non è accidentalmente preservata da questo teorema. Pitagora è un meraviglioso oratore, insegnante ed educatore, l'organizzatore della sua scuola, incentrato sull'armonia della musica e dei numeri, della bontà e della giustizia, della conoscenza e di uno stile di vita sano. Potrebbe servire da esempio per noi, lontani discendenti.

Collegamento bibliografico

Tumanova S.V. DIVERSI MODI PER DIMOSTRARE IL TEOREMA DI PITAGORE // Inizia nella scienza. - 2016. - N. 2. - P. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (data di accesso: 21.02.2019).

Coloro che sono interessati alla storia del teorema di Pitagora, che viene studiato nel curriculum scolastico, saranno anche curiosi di sapere un fatto come la pubblicazione nel 1940 di un libro con trecentosettanta dimostrazioni di questo teorema apparentemente semplice. Ma ha incuriosito le menti di molti matematici e filosofi di epoche diverse. Nel Guinness dei primati è registrato come un teorema con il numero massimo di dimostrazioni.

Storia del teorema di Pitagora

Associato al nome di Pitagora, il teorema era noto molto prima della nascita del grande filosofo. Quindi, in Egitto, durante la costruzione di strutture, il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo è stato preso in considerazione cinquemila anni fa. I testi babilonesi menzionano la stessa proporzione dei lati di un triangolo rettangolo 1200 anni prima della nascita di Pitagora.

Sorge la domanda perché allora la storia dice: l'emergere del teorema di Pitagora appartiene a lui? Può esserci una sola risposta: ha dimostrato il rapporto tra i lati del triangolo. Fece ciò che coloro che usavano semplicemente le proporzioni e l'ipotenusa, stabilite dall'esperienza, non facevano secoli fa.

Dalla vita di Pitagora

Il futuro grande scienziato, matematico e filosofo nacque sull'isola di Samo nel 570 a.C. I documenti storici hanno conservato informazioni sul padre di Pitagora, che era un intagliatore di gemme, ma non ci sono informazioni su sua madre. Hanno detto del bambino nato che era un bambino eccezionale che ha mostrato una passione per la musica e la poesia fin dall'infanzia. Gli storici attribuiscono Ermodamante e Ferecide di Siro ai maestri del giovane Pitagora. Il primo introdusse il ragazzo nel mondo delle Muse, e il secondo, essendo un filosofo e fondatore della scuola filosofica italiana, diresse lo sguardo del giovane al logos.

All'età di 22 anni (548 aC), Pitagora si recò a Naucrate per studiare la lingua e la religione degli egizi. Inoltre, la sua strada si trovava a Menfi, dove, grazie ai sacerdoti, dopo aver superato le loro ingegnose prove, comprese la geometria egiziana, che, forse, spinse il giovane curioso a dimostrare il teorema di Pitagora. La storia attribuirà in seguito questo nome al teorema.

Catturato dal re di Babilonia

Sulla via del ritorno in Grecia, Pitagora viene catturato dal re di Babilonia. Ma essere in cattività ha giovato alla mente curiosa del matematico novizio, aveva molto da imparare. In effetti, in quegli anni, la matematica a Babilonia era più sviluppata che in Egitto. Ha trascorso dodici anni studiando matematica, geometria e magia. E, forse, fu la geometria babilonese ad essere coinvolta nella dimostrazione del rapporto tra i lati del triangolo e nella storia della scoperta del teorema. Pitagora aveva abbastanza conoscenza e tempo per questo. Ma che ciò sia accaduto a Babilonia, non vi è alcuna conferma o confutazione documentale di ciò.

Nel 530 a.C Pitagora fugge dalla prigionia in patria, dove vive alla corte del tiranno Policrate come semi-schiavo. Una vita del genere non si addice a Pitagora, e si ritira nelle grotte di Samo, per poi recarsi nel sud dell'Italia, dove si trovava a quel tempo la colonia greca di Crotone.

Ordine monastico segreto

Sulla base di questa colonia, Pitagora organizzò un ordine monastico segreto, che era un'unione religiosa e una società scientifica allo stesso tempo. Questa società aveva il suo statuto, che parlava dell'osservanza di uno stile di vita speciale.

Pitagora sosteneva che per comprendere Dio, una persona deve conoscere scienze come l'algebra e la geometria, conoscere l'astronomia e comprendere la musica. Il lavoro di ricerca si riduce alla conoscenza del lato mistico dei numeri e della filosofia. Va notato che i principi predicati a quel tempo da Pitagora hanno senso imitandoli al momento attuale.

A lui furono attribuite molte delle scoperte fatte dai discepoli di Pitagora. Tuttavia, in breve, la storia della creazione del teorema di Pitagora da parte di storici e biografi antichi dell'epoca è direttamente associata al nome di questo filosofo, pensatore e matematico.

Gli insegnamenti di Pitagora

Forse gli storici si sono ispirati all'affermazione del grande greco che il proverbiale triangolo con le sue gambe e l'ipotenusa codificava tutti i fenomeni della nostra vita. E questo triangolo è la "chiave" per risolvere tutti i problemi che si presentano. Il grande filosofo diceva che si dovrebbe vedere un triangolo, quindi possiamo supporre che il problema sia risolto per due terzi.

Pitagora raccontò il suo insegnamento solo ai suoi studenti oralmente, senza prendere appunti, mantenendolo segreto. Sfortunatamente, gli insegnamenti del più grande filosofo non sono sopravvissuti fino ad oggi. Alcuni di essi sono trapelati, ma è impossibile dire quanto sia vero e quanto sia falso in ciò che è diventato noto. Anche con la storia del teorema di Pitagora, non tutto è certo. Gli storici della matematica dubitano della paternità di Pitagora, secondo loro il teorema fu usato molti secoli prima della sua nascita.

teorema di Pitagora

Può sembrare strano, ma non ci sono fatti storici della dimostrazione del teorema da parte dello stesso Pitagora - né negli archivi, né in altre fonti. Nella versione moderna, si ritiene che appartenga nientemeno che allo stesso Euclide.

Ci sono prove di uno dei più grandi storici della matematica, Moritz Kantor, che scoprì su un papiro conservato al Museo di Berlino, scritto dagli egizi intorno al 2300 a.C. e. uguaglianza, che legge: 3² + 4² = 5².

Brevemente dalla storia del teorema di Pitagora

La formulazione del teorema degli "Inizi" euclidei in traduzione suona come nell'interpretazione moderna. Non c'è nulla di nuovo nella sua lettura: il quadrato del lato opposto all'angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati adiacenti all'angolo retto. Il fatto che le antiche civiltà dell'India e della Cina usassero il teorema è confermato dal trattato Zhou Bi Suan Jin. Contiene informazioni sul triangolo egiziano, che descrive le proporzioni come 3:4:5.

Non meno interessante è un altro libro di matematica cinese "Chu-pei", che cita anche il triangolo pitagorico con una spiegazione e disegni che coincidono con i disegni della geometria indù di Baskhara. Riguardo al triangolo stesso, il libro dice che se un angolo retto può essere scomposto nelle sue parti componenti, allora la linea che collega le estremità dei lati sarà uguale a cinque, se la base è tre e l'altezza è quattro.

Il trattato indiano "Sulva Sutra", risalente al VII-V secolo a.C. circa. e., racconta la costruzione di un angolo retto usando il triangolo egiziano.

Dimostrazione del teorema

Nel Medioevo, gli studenti consideravano la dimostrazione di un teorema troppo difficile. Gli studenti deboli hanno imparato i teoremi a memoria, senza capire il significato della dimostrazione. A questo proposito ricevettero il soprannome di "asini", perché il teorema di Pitagora era per loro un ostacolo insormontabile, come un ponte per un asino. Nel Medioevo, gli studenti hanno inventato un verso giocoso sull'argomento di questo teorema.

Per dimostrare il teorema di Pitagora nel modo più semplice, dovresti semplicemente misurarne i lati, senza usare il concetto di aree nella dimostrazione. La lunghezza del lato opposto all'angolo retto è c, e aeb adiacenti ad esso, di conseguenza otteniamo l'equazione: a 2 + b 2 \u003d c 2. Questa affermazione, come accennato in precedenza, si verifica misurando le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo.

Se iniziamo la dimostrazione del teorema considerando l'area dei rettangoli costruiti ai lati del triangolo, possiamo determinare l'area dell'intera figura. Sarà uguale all'area di un quadrato con un lato (a + b) e, d'altra parte, alla somma delle aree di quattro triangoli e del quadrato interno.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , che doveva essere dimostrato.

Il significato pratico del teorema di Pitagora è che può essere utilizzato per trovare le lunghezze dei segmenti senza misurarli. Durante la costruzione di strutture, vengono calcolate le distanze, il posizionamento di supporti e travi, vengono determinati i baricentro. Il teorema di Pitagora trova applicazione anche in tutte le moderne tecnologie. Non hanno dimenticato il teorema durante la creazione di film in dimensioni 3D-6D, dove, oltre ai soliti 3 valori: altezza, lunghezza, larghezza, tempo, odore e gusto vengono presi in considerazione. In che modo i gusti e gli odori sono legati al teorema, chiedi? Tutto è molto semplice: quando si proietta un film, è necessario calcolare dove e quali odori e sapori dirigere nell'auditorium.

È solo l'inizio. La possibilità di scoprire e creare nuove tecnologie attende le menti curiose.

In una cosa, puoi essere sicuro al cento per cento che alla domanda su quale sia il quadrato dell'ipotenusa, qualsiasi adulto risponderà coraggiosamente: "La somma dei quadrati delle gambe". Questo teorema è ben piantato nella mente di ogni persona colta, ma basta solo chiedere a qualcuno di dimostrarlo, e allora possono sorgere difficoltà. Pertanto, ricordiamo e consideriamo diversi modi per dimostrare il teorema di Pitagora.

Breve panoramica della biografia

Il teorema di Pitagora è familiare a quasi tutti, ma per qualche motivo la biografia della persona che lo ha prodotto non è così popolare. Lo sistemeremo. Pertanto, prima di studiare i diversi modi per dimostrare il teorema di Pitagora, è necessario conoscere brevemente la sua personalità.

Pitagora - filosofo, matematico, pensatore, originario di Oggi è molto difficile distinguere la sua biografia dalle leggende che si sono sviluppate in memoria di questo grande uomo. Ma come risulta dagli scritti dei suoi seguaci, Pitagora di Samo nacque sull'isola di Samo. Suo padre era un normale scalpellino, ma sua madre proveniva da una famiglia nobile.

Secondo la leggenda, la nascita di Pitagora fu predetta da una donna di nome Pizia, in onore della quale fu chiamato il ragazzo. Secondo la sua predizione, un bambino nato doveva portare molti benefici e del bene all'umanità. Che è quello che ha effettivamente fatto.

La nascita di un teorema

Nella sua giovinezza, Pitagora si trasferì in Egitto per incontrare lì i famosi saggi egiziani. Dopo l'incontro con loro, fu ammesso a studiare, dove apprese tutte le grandi conquiste della filosofia, della matematica e della medicina egiziane.

Probabilmente fu in Egitto che Pitagora si ispirò alla maestosità e alla bellezza delle piramidi e creò la sua grande teoria. Questo potrebbe scioccare i lettori, ma gli storici moderni credono che Pitagora non abbia dimostrato la sua teoria. Ma trasmise le sue conoscenze solo ai suoi seguaci, che in seguito completarono tutti i calcoli matematici necessari.

Comunque sia, oggi non si conosce una tecnica per dimostrare questo teorema, ma diverse contemporaneamente. Oggi possiamo solo indovinare come esattamente gli antichi greci facevano i loro calcoli, quindi qui considereremo diversi modi per dimostrare il teorema di Pitagora.

teorema di Pitagora

Prima di iniziare qualsiasi calcolo, devi capire quale teoria dimostrare. Il teorema di Pitagora suona così: "In un triangolo in cui uno degli angoli è 90°, la somma dei quadrati delle gambe è uguale al quadrato dell'ipotenusa".

Ci sono 15 modi diversi per dimostrare il teorema di Pitagora in totale. Questo è un numero abbastanza grande, quindi prestiamo attenzione ai più popolari.

Metodo uno

Definiamo prima cosa abbiamo. Questi dati si applicheranno anche ad altri modi per dimostrare il teorema di Pitagora, quindi dovresti ricordare immediatamente tutta la notazione disponibile.

Supponiamo che sia dato un triangolo rettangolo, con cateti a, b e ipotenusa uguali a c. Il primo metodo di dimostrazione si basa sul fatto che un quadrato deve essere disegnato da un triangolo rettangolo.

Per fare ciò, devi disegnare un segmento uguale alla gamba nella lunghezza della gamba a e viceversa. Quindi dovrebbe risultare due lati uguali del quadrato. Resta solo da disegnare due linee parallele e il quadrato è pronto.

All'interno della figura risultante, devi disegnare un altro quadrato con un lato uguale all'ipotenusa del triangolo originale. Per fare ciò, dai vertici ac e sv, devi disegnare due segmenti paralleli uguali a c. Quindi, otteniamo tre lati del quadrato, uno dei quali è l'ipotenusa del triangolo rettangolo originale. Resta solo da disegnare il quarto segmento.

Sulla base della figura risultante, possiamo concludere che l'area del quadrato esterno è (a + b) 2. Se guardi all'interno della figura, puoi vedere che oltre al quadrato interno, ha quattro triangoli rettangoli. L'area di ciascuno è 0,5 av.

Pertanto, l'area è: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Quindi (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

E, quindi, con 2 \u003d un 2 + in 2

Il teorema è stato dimostrato.

Metodo due: triangoli simili

Questa formula per la dimostrazione del teorema di Pitagora è stata derivata sulla base di un'affermazione della sezione della geometria su triangoli simili. Dice che la gamba di un triangolo rettangolo è la media proporzionale alla sua ipotenusa e il segmento ipotenusa che emana dal vertice di un angolo di 90°.

I dati iniziali rimangono gli stessi, quindi iniziamo subito con la dimostrazione. Tracciamo un segmento CD perpendicolare al lato AB. Sulla base della dichiarazione di cui sopra, le gambe dei triangoli sono uguali:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Per rispondere alla domanda su come dimostrare il teorema di Pitagora, la dimostrazione deve essere data quadrando entrambe le disuguaglianze.

AC 2 \u003d AB * HELL e SV 2 \u003d AB * DV

Ora dobbiamo aggiungere le disuguaglianze risultanti.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), dove AD + DV \u003d AB

Si scopre che:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

E quindi:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

La dimostrazione del teorema di Pitagora e vari modi per risolverlo richiedono un approccio versatile a questo problema. Tuttavia, questa opzione è una delle più semplici.

Un altro metodo di calcolo

La descrizione di diversi modi per dimostrare il teorema di Pitagora potrebbe non dire nulla, finché non inizi a esercitarti da solo. Molti metodi implicano non solo calcoli matematici, ma anche la costruzione di nuove figure dal triangolo originale.

In questo caso, è necessario completare un altro triangolo rettangolo VSD dalla gamba dell'aeromobile. Quindi, ora ci sono due triangoli con una gamba comune BC.

Sapendo che le aree di figure simili hanno un rapporto come i quadrati delle loro dimensioni lineari simili, allora:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (da 2 a 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

da 2 a 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + in 2

Poiché questa opzione è difficilmente adatta a diversi metodi di dimostrazione del teorema di Pitagora per il grado 8, è possibile utilizzare la tecnica seguente.

Il modo più semplice per dimostrare il teorema di Pitagora. Recensioni

Gli storici ritengono che questo metodo sia stato utilizzato per la prima volta per dimostrare un teorema nell'antica Grecia. È il più semplice, poiché non richiede assolutamente alcun calcolo. Se disegni correttamente un'immagine, la prova dell'affermazione che a 2 + b 2 \u003d c 2 sarà chiaramente visibile.

Le condizioni per questo metodo saranno leggermente diverse dal precedente. Per dimostrare il teorema, supponiamo che il triangolo rettangolo ABC sia isoscele.

Prendiamo l'ipotenusa AC come lato del quadrato e disegniamo i suoi tre lati. Inoltre, è necessario disegnare due linee diagonali nel quadrato risultante. In modo che al suo interno si ottengono quattro triangoli isoscele.

Per le gambe AB e CB, devi anche disegnare un quadrato e tracciare una linea diagonale in ciascuna di esse. Tracciamo la prima linea dal vertice A, la seconda - da C.

Ora devi guardare attentamente l'immagine risultante. Poiché ci sono quattro triangoli sull'ipotenusa AC, uguali a quello originario, e due sulle gambe, ciò indica la veridicità di questo teorema.

A proposito, grazie a questo metodo per dimostrare il teorema di Pitagora, è nata la famosa frase: "I pantaloni di Pitagora sono uguali in tutte le direzioni".

Prova di J. Garfield

James Garfield è il 20° Presidente degli Stati Uniti d'America. Oltre a lasciare il segno nella storia come sovrano degli Stati Uniti, era anche un dotato autodidatta.

All'inizio della sua carriera, era un normale insegnante in una scuola popolare, ma presto divenne direttore di uno degli istituti di istruzione superiore. Il desiderio di autosviluppo e gli ha permesso di offrire una nuova teoria della dimostrazione del teorema di Pitagora. Il teorema e un esempio della sua soluzione sono i seguenti.

Per prima cosa devi disegnare due triangoli ad angolo retto su un pezzo di carta in modo che la gamba di uno di essi sia una continuazione del secondo. I vertici di questi triangoli devono essere collegati per ottenere un trapezio.

Come sapete, l'area di un trapezio è uguale al prodotto della metà della somma delle sue basi e dell'altezza.

S=a+b/2 * (a+b)

Se consideriamo il trapezio risultante come una figura composta da tre triangoli, la sua area può essere trovata come segue:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Ora dobbiamo equalizzare le due espressioni originali

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + in 2

Più di un volume di un libro di testo può essere scritto sul teorema di Pitagora e su come dimostrarlo. Ma ha senso quando questa conoscenza non può essere messa in pratica?

Applicazione pratica del teorema di Pitagora

Purtroppo, i programmi scolastici moderni prevedono l'uso di questo teorema solo nei problemi geometrici. I laureati lasceranno presto le mura della scuola senza sapere come applicare le loro conoscenze e abilità nella pratica.

In effetti, usa il teorema di Pitagora nel tuo Vita di ogni giorno tutti possono. E non solo nelle attività professionali, ma anche nelle normali faccende domestiche. Consideriamo diversi casi in cui il teorema di Pitagora ei metodi della sua dimostrazione possono essere estremamente necessari.

Collegamento del teorema e astronomia

Sembrerebbe come stelle e triangoli possono essere collegati su carta. In effetti, l'astronomia è un campo scientifico in cui il teorema di Pitagora è ampiamente utilizzato.

Si consideri, ad esempio, il movimento di un raggio di luce nello spazio. Sappiamo che la luce viaggia in entrambe le direzioni alla stessa velocità. Chiamiamo la traiettoria AB lungo la quale si muove il raggio di luce l. E la metà del tempo impiegato dalla luce per andare dal punto A al punto B, chiamiamo T. E la velocità del raggio - C. Si scopre che: c*t=l

Se guardi questo stesso raggio da un altro piano, ad esempio, da una navicella spaziale che si muove a una velocità v, con tale osservazione dei corpi, la loro velocità cambierà. In questo caso, anche gli elementi fissi si muoveranno con una velocità v nella direzione opposta.

Diciamo che il fumetto naviga a destra. Quindi i punti A e B, tra i quali il raggio si precipita, si sposteranno a sinistra. Inoltre, quando il raggio si sposta dal punto A al punto B, il punto A ha il tempo di spostarsi e, di conseguenza, la luce arriverà già in un nuovo punto C. Per trovare la metà della distanza che il punto A ha spostato, è necessario moltiplicare il velocità del rivestimento della metà del tempo di percorrenza del raggio (t ").

E per scoprire quanto lontano potrebbe viaggiare un raggio di luce durante questo periodo, devi designare metà del percorso dei nuovi faggi e ottenere la seguente espressione:

Se immaginiamo che i punti di luce C e B, così come lo space liner, siano i vertici di un triangolo isoscele, allora il segmento dal punto A al liner lo dividerà in due triangoli rettangoli. Pertanto, grazie al teorema di Pitagora, puoi trovare la distanza che potrebbe percorrere un raggio di luce.

Questo esempio, ovviamente, non è il più riuscito, poiché solo pochi possono avere la fortuna di provarlo nella pratica. Pertanto, consideriamo applicazioni più banali di questo teorema.

Raggio di trasmissione del segnale mobile

La vita moderna non può più essere immaginata senza l'esistenza degli smartphone. Ma quanto sarebbero utili se non potessero connettere gli abbonati tramite comunicazioni mobili?!

La qualità delle comunicazioni mobili dipende direttamente dall'altezza alla quale si trova l'antenna dell'operatore mobile. Per calcolare quanto lontano da una torre mobile un telefono può ricevere un segnale, puoi applicare il teorema di Pitagora.

Diciamo che devi trovare l'altezza approssimativa di una torre fissa in modo che possa propagare un segnale entro un raggio di 200 chilometri.

AB (altezza torre) = x;

BC (raggio di trasmissione del segnale) = 200 km;

OS (raggio del globo) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Applicando il teorema di Pitagora, scopriamo che l'altezza minima della torre dovrebbe essere di 2,3 chilometri.

Teorema di Pitagora nella vita quotidiana

Stranamente, il teorema di Pitagora può essere utile anche in questioni quotidiane, come ad esempio determinare l'altezza di un armadio. A prima vista, non è necessario utilizzare calcoli così complessi, perché puoi semplicemente misurare con un metro a nastro. Ma molti sono sorpresi dal motivo per cui alcuni problemi sorgono durante il processo di assemblaggio se tutte le misurazioni sono state eseguite in modo più che accurato.

Il fatto è che l'armadio è assemblato in posizione orizzontale e solo allora si alza e viene installato contro il muro. Pertanto, la parete laterale dell'armadio nel processo di sollevamento della struttura deve passare liberamente sia lungo l'altezza che in diagonale della stanza.

Supponiamo che ci sia un armadio con una profondità di 800 mm. Distanza dal pavimento al soffitto - 2600 mm. Un produttore di mobili esperto dirà che l'altezza dell'armadio dovrebbe essere 126 mm inferiore all'altezza della stanza. Ma perché esattamente 126 mm? Diamo un'occhiata a un esempio.

Con dimensioni ideali dell'armadio, verifichiamo il funzionamento del teorema di Pitagora:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - tutto converge.

Diciamo che l'altezza del mobile non è 2474 mm, ma 2505 mm. Quindi:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Pertanto, questo armadio non è adatto per l'installazione in questa stanza. Poiché quando lo si solleva in posizione verticale, si possono causare danni al suo corpo.

Forse, dopo aver considerato diversi modi per dimostrare il teorema di Pitagora da diversi scienziati, possiamo concludere che è più che vero. Ora puoi utilizzare le informazioni ricevute nella tua vita quotidiana ed essere completamente sicuro che tutti i calcoli non saranno solo utili, ma anche corretti.