Полиедри: как да намерите страничната повърхност на пирамида. Намерете повърхността на правилна триъгълна пирамида

Видео курсът „Вземете A“ включва всички теми, необходими за успешно полагане на Единния държавен изпит по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, клопки и тайни на Единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи от Единния държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.

е фигура, чиято основа е произволен многоъгълник, а страничните стени са представени от триъгълници. Техните върхове лежат в една и съща точка и съответстват на върха на пирамидата.

Пирамидата може да бъде разнообразна - триъгълна, четириъгълна, шестоъгълна и др. Името му може да се определи в зависимост от броя на ъглите, съседни на основата.
Правилната пирамиданаречена пирамида, в която страните на основата, ъглите и ръбовете са равни. Също така в такава пирамида площта на страничните лица ще бъде равна.
Формулата за площта на страничната повърхност на пирамидата е сумата от площите на всички нейни лица:
Тоест, за да изчислите площта на страничната повърхност на произволна пирамида, трябва да намерите площта на всеки отделен триъгълник и да ги добавите заедно. Ако пирамидата е пресечена, тогава нейните лица са представени от трапецовидни. Има друга формула за правилна пирамида. При него страничната повърхност се изчислява чрез полупериметъра на основата и дължината на апотемата:

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на страничната повърхност на пирамида.
Нека е дадена правилна четириъгълна пирамида. Основна страна b= 6 см, апотема а= 8 см. Намерете площта на страничната повърхност.

В основата на правилната четириъгълна пирамида има квадрат. Първо, нека намерим неговия периметър:

Сега можем да изчислим страничната повърхност на нашата пирамида:

За да намерите общата площ на полиедър, ще трябва да намерите площта на основата му. Формулата за площта на основата на пирамида може да се различава в зависимост от това кой многоъгълник лежи в основата. За да направите това, използвайте формулата за площта на триъгълник, площ на успоредники т.н.

Помислете за пример за изчисляване на площта на основата на пирамида, дадена от нашите условия. Тъй като пирамидата е правилна, в основата й има квадрат.
Квадратна площизчислява се по формулата: ,
където a е страната на квадрата. За нас е 6 см. Това означава, че площта на основата на пирамидата е:

Сега всичко, което остава, е да се намери общата площ на полиедъра. Формулата за площта на пирамидата се състои от сумата от площта на нейната основа и страничната повърхност.

Площта на страничната повърхност на произволна пирамида е равна на сумата от площите на нейните странични лица. Има смисъл да се даде специална формула за изразяване на тази площ в случай на правилна пирамида. И така, нека ни е дадена правилна пирамида, в основата на която лежи правилен n-ъгълник със страна, равна на a. Нека h е височината на страничната повърхност, наричана още апотемапирамиди. Площта на едната странична повърхност е равна на 1/2ah, а цялата странична повърхност на пирамидата има площ, равна на n/2ha.Тъй като na е периметърът на основата на пирамидата, можем да напишем намерената формула във формата:

Площ на страничната повърхностна правилна пирамида е равно на произведението на нейната апотема и половината от периметъра на основата.

Относно обща повърхност, тогава просто добавяме площта на основата към страничната.

Вписана и описана сфера и топка. Трябва да се отбележи, че центърът на сферата, вписана в пирамидата, лежи в пресечната точка на ъглополовящите равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата. Центърът на сферата, описана близо до пирамидата, лежи в пресечната точка на равнини, минаващи през средните точки на ръбовете на пирамидата и перпендикулярни на тях.

Пресечена пирамида.Ако една пирамида се разрязва от равнина, успоредна на нейната основа, тогава частта, затворена между сечащата равнина и основата, се нарича пресечена пирамида.Фигурата показва пирамида; изхвърляйки нейната част, разположена над равнината на срязване, получаваме пресечена пирамида. Ясно е, че малката изхвърлена пирамида е хомотетична на голямата пирамида с център на хомотетия на върха. Коефициентът на подобие е равен на отношението на височините: k=h 2 /h 1, или страничните ръбове, или други съответни линейни размери на двете пирамиди. Знаем, че площите на подобни фигури са свързани като квадрати с линейни размери; така че площите на основите на двете пирамиди (т.е. площта на основите на пресечената пирамида) са свързани като

Тук S 1 е площта на долната основа, а S 2 е площта на горната основа на пресечената пирамида. Страничните повърхности на пирамидите са в същото отношение. Подобно правило съществува и за обемите.

Обеми на подобни теласа свързани като кубове с техните линейни размери; например, обемите на пирамидите са свързани като произведение на техните височини и площта на основите, от което веднага се получава нашето правило. То е от напълно общ характер и пряко следва от факта, че обемът винаги има размерност на трета степен на дължината. Използвайки това правило, извличаме формула, изразяваща обема на пресечена пирамида чрез височината и площта на основите.

Нека е дадена пресечена пирамида с височина h и основни площи S 1 и S 2 . Ако си представим, че тя е разширена до пълна пирамида, тогава коефициентът на подобие между пълната пирамида и малката пирамида може лесно да се намери като корен на отношението S 2 /S 1 . Височината на пресечена пирамида се изразява като h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Сега имаме за обема на пресечена пирамида (V 1 и V 2 означават обемите на пълната и малката пирамида)

формула за обем на пресечена пирамида

Нека изведем формулата за площта S на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида през периметъра P 1 и P 2 на основите и дължината на апотемата a. Разсъждаваме точно по същия начин, както при извеждането на формулата за обем. Допълваме пирамидата с горната част, имаме P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, където k е коефициентът на подобие, P 1 и P 2 са периметрите на основите, а S 1 и S 2 са площите на страничните повърхности на цялата получена пирамида и съответно нейната горна част. За страничната повърхност намираме (a 1 и a 2 са апотеми на пирамидите, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

формула за площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида

Инструкции

На първо място, струва си да се разбере, че страничната повърхност на пирамидата е представена от няколко триъгълника, чиито площи могат да бъдат намерени с помощта на различни формули, в зависимост от известните данни:

S = (a*h)/2, където h е височината, спусната до страна a;

S = a*b*sinβ, където a, b са страните на триъгълника, а β е ъгълът между тези страни;

S = (r*(a + b + c))/2, където a, b, c са страните на триъгълника, а r е радиусът на окръжността, вписана в този триъгълник;

S = (a*b*c)/4*R, където R е радиусът на триъгълника, описан около кръга;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (ако триъгълникът е правоъгълен);

S = S = (a²*√3)/4 (ако триъгълникът е равностранен).

Всъщност това са само най-основните известни формули за намиране на площта на триъгълник.

След като изчислите площите на всички триъгълници, които са лицата на пирамидата, като използвате горните формули, можете да започнете да изчислявате площта на тази пирамида. Това се прави изключително просто: трябва да съберете площите на всички триъгълници, които образуват страничната повърхност на пирамидата. Това може да се изрази с формулата:

Sp = ΣSi, където Sp е площта на страничната повърхност, Si е площта на i-тия триъгълник, която е част от неговата странична повърхност.

За по-голяма яснота можем да разгледаме малък пример: дадена е правилна пирамида, чиито странични лица са образувани от равностранни триъгълници, а в основата й лежи квадрат. Дължината на ръба на тази пирамида е 17 см. Необходимо е да се намери площта на страничната повърхност на тази пирамида.

Решение: известна е дължината на ръба на тази пирамида, известно е, че лицата й са равностранни триъгълници. По този начин можем да кажем, че всички страни на всички триъгълници на страничната повърхност са равни на 17 см. Следователно, за да изчислите площта на някой от тези триъгълници, ще трябва да приложите формулата:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Известно е, че в основата на пирамидата лежи квадрат. Така е ясно, че има четири дадени равностранни триъгълника. Тогава площта на страничната повърхност на пирамидата се изчислява, както следва:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Отговор: Площта на страничната повърхност на пирамидата е 500,548 cm²

Първо, нека изчислим площта на страничната повърхност на пирамидата. Страничната повърхност е сумата от площите на всички странични повърхности. Ако имате работа с правилна пирамида (тоест такава, която има правилен многоъгълник в основата си и върхът е проектиран в центъра на този многоъгълник), тогава за да изчислите цялата странична повърхност, е достатъчно да умножите периметъра на основата (т.е. сумата от дължините на всички страни на многоъгълника, лежащ в основата на пирамидата) по височината на страничната повърхност (иначе наричана апотема) и разделете получената стойност на 2: Sb = 1/2P* h, където Sb е площта на страничната повърхност, P е периметърът на основата, h е височината на страничната повърхност (апотема).

Ако имате произволна пирамида пред вас, ще трябва отделно да изчислите площите на всички лица и след това да ги сумирате. Тъй като страничните стени на пирамидата са триъгълници, използвайте формулата за площта на триъгълник: S=1/2b*h, където b е основата на триъгълника, а h е височината. Когато площите на всички лица са изчислени, остава само да ги сумирате, за да получите площта на страничната повърхност на пирамидата.

След това трябва да изчислите площта на основата на пирамидата. Изборът на формула за изчисление зависи от това кой многоъгълник лежи в основата на пирамидата: правилен (т.е. един с еднаква дължина на всички страни) или неправилен. Площта на правилен многоъгълник може да се изчисли чрез умножаване на периметъра по радиуса на вписания кръг в многоъгълника и разделяне на получената стойност на 2: Sn = 1/2P*r, където Sn е площта на многоъгълник, P е периметърът, а r е радиусът на вписаната окръжност в многоъгълника.

Пресечената пирамида е многостен, образуван от пирамида и нейното напречно сечение, успоредно на основата. Намирането на страничната повърхност на пирамидата изобщо не е трудно. Много е просто: площта е равна на произведението на половината от сбора на основите по . Нека разгледаме пример за изчисляване на страничната повърхност. Да предположим, че ни е дадена правилна пирамида. Дължините на основата са b = 5 см, c = 3 см. Апотема a = 4 см. За да намерите площта на страничната повърхност на пирамидата, първо трябва да намерите периметъра на основите. В голяма основа тя ще бъде равна на p1=4b=4*5=20 см. В по-малка основа формулата ще бъде следната: p2=4c=4*3=12 см. Следователно площта ще бъде равна на : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 см.

Триъгълна пирамидае многостен, чиято основа е правилен триъгълник.

В такава пирамида ръбовете на основата и ръбовете на страните са равни един на друг. Съответно, площта на страничните лица се намира от сумата от площите на три еднакви триъгълника. Можете да намерите площта на страничната повърхност на правилна пирамида, като използвате формулата. И можете да направите изчислението няколко пъти по-бързо. За да направите това, трябва да приложите формулата за площта на страничната повърхност на триъгълна пирамида:

където p е периметърът на основата, всички страни на която са равни на b, a е апотемата, спусната от върха към тази основа. Нека да разгледаме пример за изчисляване на площта на триъгълна пирамида.

Задача: Нека е дадена правилна пирамида. Страната на триъгълника в основата е b = 4 см. Апотемата на пирамидата е a = 7 см. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.
Тъй като според условията на проблема знаем дължините на всички необходими елементи, ще намерим периметъра. Спомняме си, че в правилния триъгълник всички страни са равни и следователно периметърът се изчислява по формулата:

Нека заместим данните и да намерим стойността:

Сега, знаейки периметъра, можем да изчислим страничната повърхност:

За да приложите формулата за площта на триъгълна пирамида, за да изчислите пълната стойност, трябва да намерите площта на основата на полиедъра. За да направите това, използвайте формулата:

Формулата за площта на основата на триъгълна пирамида може да бъде различна. Възможно е да се използва всяко изчисление на параметри за дадена фигура, но най-често това не се изисква. Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на основата на триъгълна пирамида.

Задача: В правилна пирамида страната на триъгълника в основата е a = 6 см. Изчислете площта на основата.
За да изчислим, ни трябва само дължината на страната на правилния триъгълник, разположен в основата на пирамидата. Нека заместим данните във формулата:

Доста често трябва да намерите общата площ на полиедър. За да направите това, ще трябва да добавите площта на страничната повърхност и основата.

Нека да разгледаме пример за изчисляване на площта на триъгълна пирамида.

Задача: Нека е дадена правилна триъгълна пирамида. Страната на основата е b = 4 см, апотемата е a = 6 см. Намерете общата площ на пирамидата.
Първо, нека намерим площта на страничната повърхност, използвайки вече известната формула. Нека изчислим периметъра:

Заместете данните във формулата:
Сега нека намерим площта на основата:
Познавайки площта на основата и страничната повърхност, намираме общата площ на пирамидата:

Когато изчислявате площта на правилна пирамида, не трябва да забравяте, че основата е правилен триъгълник и много елементи на този полиедър са равни един на друг.