Формула за странична повърхност на правилна четириъгълна пирамида. Странична повърхност на различни пирамиди

Общата площ на страничната повърхност на пирамидата се състои от сумата от площите на нейните странични лица.

В четириъгълната пирамида има два вида лица - четириъгълник в основата и триъгълници с общ връх, които образуват страничната повърхност.
Първо трябва да изчислите площта на страничните повърхности. За да направите това, можете да използвате формулата за площта на триъгълник или можете също да използвате формулата за повърхността на четириъгълна пирамида (само ако полиедърът е правилен). Ако пирамидата е правилна и дължината на ръба a на основата и апотемата h, начертани към нея, са известни, тогава:

Ако според условията са дадени дължината на ръба c на правилна пирамида и дължината на страната на основата a, тогава можете да намерите стойността, като използвате следната формула:

Ако са дадени дължината на ръба в основата и острия ъгъл срещу него в горната част, тогава площта на страничната повърхност може да се изчисли чрез съотношението на квадрата на страната a към двойния косинус на половината ъгъл α:

Нека разгледаме пример за изчисляване на повърхността на четириъгълна пирамида през страничния ръб и страната на основата.

Задача: Нека е дадена правилна четириъгълна пирамида. Дължина на ръба b = 7 см, дължина на основната страна a = 4 см. Заместете дадените стойности във формулата:

Показахме изчисления на площта на едната странична повърхност за правилна пирамида. Съотв. За да намерите площта на цялата повърхност, трябва да умножите резултата по броя на лицата, т.е. по 4. Ако пирамидата е произволна и нейните лица не са равни една на друга, тогава трябва да се изчисли площта за всяка отделна страна. Ако основата е правоъгълник или паралелограм, тогава си струва да запомните техните свойства. Страните на тези фигури са успоредни по двойки и съответно лицата на пирамидата също ще бъдат еднакви по двойки.
Формулата за площта на основата на четириъгълна пирамида директно зависи от това кой четириъгълник лежи в основата. Ако пирамидата е правилна, тогава площта на основата се изчислява по формулата, ако основата е ромб, тогава ще трябва да запомните как се намира. Ако в основата има правоъгълник, тогава намирането на неговата площ ще бъде доста просто. Достатъчно е да знаете дължините на страните на основата. Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на основата на четириъгълна пирамида.

Задача: Нека е дадена пирамида, в основата на която лежи правоъгълник със страни a = 3 см, b = 5 см. От върха на пирамидата до всяка от страните е спусната апотема. h-a =4 см, h-b =6 см. Върхът на пирамидата лежи на една права с пресечната точка на диагоналите. Намерете общата площ на пирамидата.
Формулата за площта на четириъгълна пирамида се състои от сумата от площите на всички лица и площта на основата. Първо, нека намерим площта на основата:


Сега нека погледнем страните на пирамидата. Те са еднакви по двойки, тъй като височината на пирамидата пресича пресечната точка на диагоналите. Тоест в нашата пирамида има два триъгълника с основа a и височина h-a, както и два триъгълника с основа b и височина h-b. Сега нека намерим площта на триъгълника, използвайки добре познатата формула:


Сега нека изпълним пример за изчисляване на площта на четириъгълна пирамида. В нашата пирамида с правоъгълник в основата формулата ще изглежда така:

Когато се подготвят за Единния държавен изпит по математика, учениците трябва да систематизират знанията си по алгебра и геометрия. Бих искал да комбинирам цялата известна информация, например как да изчисля площта на пирамида. Освен това, започвайки от основата и страничните ръбове до цялата повърхност. Ако ситуацията със страничните лица е ясна, тъй като те са триъгълници, тогава основата винаги е различна.

Как да намерите площта на основата на пирамидата?

Това може да бъде абсолютно всяка фигура: от произволен триъгълник до n-gon. И тази основа, освен разликата в броя на ъглите, може да бъде правилна фигура или неправилна. В задачите на Единния държавен изпит, които интересуват учениците, има само задачи с правилни цифри в основата. Затова ще говорим само за тях.

Правилен триъгълник

Тоест равностранен. Тази, в която всички страни са равни и се обозначават с буквата „а“. В този случай площта на основата на пирамидата се изчислява по формулата:

S = (a 2 * √3) / 4.

Квадрат

Формулата за изчисляване на неговата площ е най-простата, тук "a" отново е страната:

Произволен правилен n-ъгълник

Страната на многоъгълник има същата нотация. За броя на ъглите се използва латинската буква n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Какво да направите, когато изчислявате страничната и общата повърхност?

Тъй като основата е правилна фигура, всички лица на пирамидата са равни. Освен това всеки от тях е равнобедрен триъгълник, тъй като страничните ръбове са равни. След това, за да изчислите страничната площ на пирамидата, ще ви е необходима формула, състояща се от сумата от еднакви мономи. Броят на членовете се определя от броя на страните на основата.

Площта на равнобедрен триъгълник се изчислява по формулата, в която половината от продукта на основата се умножава по височината. Тази височина в пирамидата се нарича апотема. Обозначението му е "А". Общата формула за страничната повърхност е:

S = ½ P*A, където P е периметърът на основата на пирамидата.

Има ситуации, когато страните на основата не са известни, но са дадени страничните ръбове (c) и плоският ъгъл при нейния връх (α). След това трябва да използвате следната формула, за да изчислите страничната площ на пирамидата:

S = n/2 * в 2 sin α .

Задача No1

Състояние.Намерете общата площ на пирамидата, ако нейната основа има страна 4 cm, а апотемата има стойност √3 cm.

Решение.Трябва да започнете с изчисляване на периметъра на основата. Тъй като това е правилен триъгълник, тогава P = 3*4 = 12 см. Тъй като апотемата е известна, можем веднага да изчислим площта на цялата странична повърхност: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

За триъгълника в основата получавате следната стойност на площта: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

За да определите цялата площ, ще трябва да добавите двете получени стойности: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Отговор. 10√3 cm 2.

Проблем No2

Състояние. Има правилна четириъгълна пирамида. Дължината на основата е 7 мм, на страничния ръб е 16 мм. Необходимо е да се установи неговата повърхност.

Решение.Тъй като полиедърът е четириъгълен и правилен, основата му е квадрат. След като знаете площта на основата и страничните стени, ще можете да изчислите площта на пирамидата. Формулата за квадрата е дадена по-горе. А за страничните лица са известни всички страни на триъгълника. Следователно можете да използвате формулата на Heron, за да изчислите техните площи.

Първите изчисления са прости и водят до следното число: 49 mm 2. За втората стойност ще трябва да изчислите полупериметъра: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Сега можете да изчислите площта на равнобедрен триъгълник: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Има само четири такива триъгълника, така че при изчисляване на крайното число ще трябва да го умножите по 4.

Оказва се: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm 2.

Отговор. Желаната стойност е 267,576 mm 2.

Проблем No3

Състояние. За правилна четириъгълна пирамида трябва да изчислите площта. Известно е, че страната на квадрата е 6 cm, а височината е 4 cm.

Решение.Най-лесният начин е да използвате формулата с произведението на периметър и апотема. Първата стойност е лесна за намиране. Второто е малко по-сложно.

Ще трябва да си спомним Питагоровата теорема и да разгледаме Тя се формира от височината на пирамидата и апотемата, която е хипотенузата. Вторият крак е равен на половината от страната на квадрата, тъй като височината на многостена попада в средата му.

Необходимата апотема (хипотенуза на правоъгълен триъгълник) е равна на √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Сега можете да изчислите необходимата стойност: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Отговор. 96 см 2.

Проблем No4

Състояние.Дадена е правилната страна Страните на основата му са 22 мм, страничните ръбове са 61 мм. Каква е площта на страничната повърхност на този полиедър?

Решение.Разсъждението в нея е същото като описаното в задача No2. Само там е дадена пирамида с квадрат в основата, а сега е шестоъгълник.

Първо, основната площ се изчислява по горната формула: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Сега трябва да откриете полупериметъра на равнобедрен триъгълник, който е страничната страна. (22+61*2):2 = 72 см. Остава само да се използва формулата на Heron, за да се изчисли площта на всеки такъв триъгълник, след което да се умножи по шест и да се добави към получената за основата.

Изчисления по формулата на Херон: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Изчисления, които ще дадат площ на страничната повърхност: 660 * 6 = 3960 cm 2. Остава да ги съберем, за да разберем цялата повърхност: 5217,47≈5217 cm 2.

Отговор.Основата е 726√3 cm 2, страничната повърхност е 3960 cm 2, цялата площ е 5217 cm 2.

Площ на повърхността на пирамидата. В тази статия ще разгледаме проблемите с правилните пирамиди. Нека ви напомня, че правилната пирамида е пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, върхът на пирамидата е проектиран в центъра на този многоъгълник.

Страничната страна на такава пирамида е равнобедрен триъгълник.Надморската височина на този триъгълник, изтеглена от върха на правилна пирамида, се нарича апотема, SF - апотема:

В вида на проблема, представен по-долу, трябва да намерите площта на цялата пирамида или площта на нейната странична повърхност. В блога вече бяха обсъдени няколко проблема с правилни пирамиди, където въпросът беше за намирането на елементите (височина, основен ръб, страничен ръб).

Задачите на единния държавен изпит обикновено разглеждат правилни триъгълни, четириъгълни и шестоъгълни пирамиди. Не съм виждал проблеми с правилните петоъгълни и седмоъгълни пирамиди.

Формулата за площта на цялата повърхност е проста - трябва да намерите сумата от площта на основата на пирамидата и площта на нейната странична повърхност:

Нека разгледаме задачите:

Страните на основата на правилна четириъгълна пирамида са 72, страничните ръбове са 164. Намерете повърхността на тази пирамида.

Площта на повърхността на пирамидата е равна на сумата от площите на страничната повърхност и основата:

*Страничната повърхност се състои от четири триъгълника с еднаква площ. Основата на пирамидата е квадрат.

Можем да изчислим площта на страната на пирамидата, като използваме:

Така повърхността на пирамидата е:

Отговор: 28224

Страните на основата на правилна шестоъгълна пирамида са равни на 22, страничните ръбове са равни на 61. Намерете страничната повърхност на тази пирамида.

Основата на правилната шестоъгълна пирамида е правилен шестоъгълник.

Площта на страничната повърхност на тази пирамида се състои от шест области на равни триъгълници със страни 61,61 и 22:

Нека намерим площта на триъгълника, използвайки формулата на Heron:

Така площта на страничната повърхност е:

Отговор: 3240

*В проблемите, представени по-горе, площта на страничната повърхност може да се намери с помощта на друга формула за триъгълник, но за това трябва да изчислите апотемата.

27155. Намерете повърхността на правилна четириъгълна пирамида, чиято основна страна е 6 и чиято височина е 4.

За да намерим площта на повърхността на пирамидата, трябва да знаем площта на основата и площта на страничната повърхност:

Площта на основата е 36, тъй като тя е квадрат със страна 6.

Страничната повърхност се състои от четири лица, които са равни триъгълници. За да намерите площта на такъв триъгълник, трябва да знаете неговата основа и височина (апотема):

*Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на основата и височината, прекарана към тази основа.

Основата е известна, тя е равна на шест. Да намерим височината. Помислете за правоъгълен триъгълник (маркиран в жълто):

Единият крак е равен на 4, тъй като това е височината на пирамидата, другият е равен на 3, тъй като е равен на половината ръб на основата. Можем да намерим хипотенузата с помощта на Питагоровата теорема:

Това означава, че площта на страничната повърхност на пирамидата е:

Така повърхността на цялата пирамида е:

Отговор: 96

27069. Страните на основата на правилна четириъгълна пирамида са равни на 10, страничните ръбове са равни на 13. Намерете повърхността на тази пирамида.

27070. Страните на основата на правилна шестоъгълна пирамида са равни на 10, страничните ръбове са равни на 13. Намерете площта на страничната повърхност на тази пирамида.

Има и формули за площта на страничната повърхност на правилната пирамида. В правилната пирамида основата е ортогонална проекция на страничната повърхност, следователно:

П- основен периметър, л- апотема на пирамидата

*Тази формула се базира на формулата за лицето на триъгълник.

Ако искате да научите повече за това как се извличат тези формули, не го пропускайте, следете публикуването на статии.Това е всичко. Късмет!

С уважение, Александър Крутицких.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

Типични геометрични задачи в равнината и в тримерното пространство са задачите за определяне на повърхностите на различни фигури. В тази статия представяме формулата за площта на страничната повърхност на правилна четириъгълна пирамида.

Какво е пирамида?

Нека дадем строга геометрична дефиниция на пирамида. Да предположим, че имаме многоъгълник с n страни и n ъгли. Нека изберем произволна точка в пространството, която няма да бъде в равнината на посочения n-ъгълник, и я свържем с всеки връх на многоъгълника. Ще получим фигура с определен обем, която се нарича n-ъгълна пирамида. Например, нека покажем на фигурата по-долу как изглежда петоъгълна пирамида.

Двата важни елемента на всяка пирамида са нейната основа (n-ъгълник) и нейният връх. Тези елементи са свързани помежду си с n триъгълника, които по принцип не са равни помежду си. Перпендикулярът, спускащ се от върха към основата, се нарича височина на фигурата. Ако тя пресича основата в геометричния център (съвпада с центъра на масата на многоъгълника), тогава такава пирамида се нарича права линия. Ако в допълнение към това условие основата е правилен многоъгълник, тогава цялата пирамида се нарича правилна. Картината по-долу показва как изглеждат правилните пирамиди с триъгълни, четириъгълни, петоъгълни и шестоъгълни основи.

Повърхност на пирамидата

Преди да преминем към въпроса за площта на страничната повърхност на правилната четириъгълна пирамида, трябва да се спрем по-подробно на концепцията за самата повърхност.

Както бе споменато по-горе и показано на фигурите, всяка пирамида е образувана от набор от лица или страни. Едната страна е основата, а n страни са триъгълници. Повърхнината на цялата фигура е сумата от площите на всяка от нейните страни.

Удобно е да изучавате повърхност, като използвате примера за развитие на фигура. Развитието на правилна четириъгълна пирамида е показано на фигурите по-долу.

Виждаме, че повърхността му е равна на сумата от четири площи на еднакви равнобедрени триъгълници и площта на квадрат.

Общата площ на всички триъгълници, които образуват страните на фигурата, обикновено се нарича площ на страничната повърхност. След това ще покажем как да го изчислим за правилна четириъгълна пирамида.

Странична повърхност на четириъгълна правилна пирамида

За да изчислим страничната повърхност на посочената фигура, отново се обръщаме към горното развитие. Нека приемем, че знаем страната на квадратната основа. Нека го обозначим със символа a. Вижда се, че всеки от четирите еднакви триъгълника има основа с дължина a. За да изчислите общата им площ, трябва да знаете тази стойност за един триъгълник. От курса по геометрия знаем, че площта S t на триъгълник е равна на произведението на основата и височината, която трябва да бъде разделена наполовина. Това е:

Където h b е височината на равнобедрен триъгълник, начертана към основата a. За една пирамида тази височина е апотема. Сега остава да умножим получения израз по 4, за да получим площта S b на страничната повърхност на въпросната пирамида:

S b = 4*S t = 2*h b *a.

Тази формула съдържа два параметъра: апотема и страна на основата. Ако последното е известно в повечето проблемни условия, тогава първото трябва да се изчисли, като се знаят други количества. Ето формулите за изчисляване на апотемата h b за два случая:

• когато е известна дължината на страничното ребро;
• когато е известна височината на пирамидата.

Ако обозначим дължината на страничния ръб (страна на равнобедрен триъгълник) със символа L, тогава апотемата h b се определя по формулата:

h b = √(L 2 - a 2 /4).

Този израз е резултат от прилагането на Питагоровата теорема към триъгълника на страничната повърхност.

Ако височината h на пирамидата е известна, тогава апотемата h b може да се изчисли, както следва:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

Също така не е трудно да се получи този израз, ако разгледаме правоъгълен триъгълник вътре в пирамидата, образуван от катетите h и a/2 и хипотенузата h b.

Нека покажем как да приложим тези формули, като решим две интересни задачи.

Проблем с известна повърхност

Известно е, че площта на страничната повърхност на четириъгълника е 108 cm 2. Необходимо е да се изчисли дължината на нейната апотема h b, ако височината на пирамидата е 7 cm.

Нека напишем формулата за площта S b на страничната повърхност по отношение на височината. Ние имаме:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Тук просто заместихме подходящата формула на апотемата в израза за S b. Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:

S b 2 = 4*a 2 *h 2 + a 4.

За да намерим стойността на a, правим промяна на променливите:

t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.

Сега заместваме известните стойности и решаваме квадратното уравнение:

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

Записали сме само положителния корен на това уравнение. Тогава страните на основата на пирамидата ще бъдат равни на:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

За да получите дължината на апотемата, просто използвайте формулата:

h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 cm.

Странична повърхност на Хеопсовата пирамида

Нека определим стойността на страничната повърхност на най-голямата египетска пирамида. Известно е, че в основата му лежи квадрат с дължина на страната 230,363 метра. Височината на конструкцията първоначално е била 146,5 метра. Заместете тези числа в съответната формула за S b, получаваме:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 m 2.

Намерената стойност е малко по-голяма от площта на 17 футболни игрища.

Каква фигура наричаме пирамида? Първо, това е полиедър. Второ, в основата на този полиедър има произволен многоъгълник, а страните на пирамидата (страничните лица) задължително имат формата на триъгълници, събиращи се в един общ връх. Сега, след като разбрахме термина, нека разберем как да намерим повърхността на пирамидата.

Ясно е, че повърхността на такова геометрично тяло е съставена от сумата от площите на основата и цялата му странична повърхност.

Изчисляване на площта на основата на пирамида

Изборът на формула за изчисление зависи от формата на многоъгълника, който е в основата на нашата пирамида. Тя може да бъде правилна, тоест със страни с еднаква дължина, или неправилна. Нека разгледаме и двата варианта.

Основата е правилен многоъгълник

От училищния курс знаем:

• площта на квадрата ще бъде равна на дължината на квадратната му страна;
• Площта на равностранен триъгълник е равна на квадрата на страната му, разделена на 4 и умножена по корен квадратен от три.

Но има и обща формула за изчисляване на площта на всеки правилен многоъгълник (Sn): трябва да умножите периметъра на този многоъгълник (P) по радиуса на вписаната в него окръжност (r) и след това да разделите резултат с две: Sn=1/2P*r .

В основата има неправилен многоъгълник

Схемата за намиране на неговата площ е първо да разделите целия многоъгълник на триъгълници, да изчислите площта на всеки от тях по формулата: 1/2a*h (където a е основата на триъгълника, h е височината, спусната до тази база), съберете всички резултати.

Площ на страничната повърхност на пирамидата

Сега нека изчислим площта на страничната повърхност на пирамидата, т.е. сумата от площите на всичките му странични страни. Тук също има 2 опции.

1. Нека имаме произволна пирамида, т.е. един с неправилен многоъгълник в основата си. След това трябва да изчислите площта на всяко лице поотделно и да добавите резултатите. Тъй като страните на пирамидата по дефиниция могат да бъдат само триъгълници, изчислението се извършва по гореспоменатата формула: S=1/2a*h.
2. Нека нашата пирамида е правилна, т.е. в основата му лежи правилен многоъгълник, а проекцията на върха на пирамидата е в нейния център. След това, за да се изчисли площта на страничната повърхност (Sb), е достатъчно да се намери половината от произведението на периметъра на основния многоъгълник (P) и височината (h) на страничната страна (еднакво за всички лица ): Sb = 1/2 P*h. Периметърът на многоъгълник се определя чрез събиране на дължините на всичките му страни.

Общата площ на правилната пирамида се намира чрез сумиране на площта на нейната основа с площта на цялата странична повърхност.

Примери

Например, нека изчислим алгебрично площите на няколко пирамиди.

Повърхност на триъгълна пирамида

В основата на такава пирамида е триъгълник. Използвайки формулата So=1/2a*h намираме площта на основата. Използваме същата формула, за да намерим площта на всяко лице на пирамидата, която също има триъгълна форма, и получаваме 3 области: S1, S2 и S3. Площта на страничната повърхност на пирамидата е сумата от всички площи: Sb = S1+ S2+ S3. Като съберем площите на страните и основата, получаваме общата повърхност на желаната пирамида: Sp= So+ Sb.

Повърхност на четириъгълна пирамида

Площта на страничната повърхност е сумата от 4 члена: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, всеки от които се изчислява по формулата за площта на триъгълник. И площта на основата ще трябва да се търси в зависимост от формата на четириъгълника - правилна или неправилна. Общата повърхност на пирамидата отново се получава чрез събиране на площта на основата и общата повърхност на дадената пирамида.